反证法练习题

2.2.2反证法双基达标限时20分钟1．实数a，b，c不全为0等价于()．A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0解析不全为0即至少有一个不为0，故选D.答案D2．下列命题错误的是()．A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数解析a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案D3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数()．A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析若a，b，c都小于2，则a＋b＋c6①，而a＋b＋c＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C正确．答案C4．命题“△ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是________．答案a≤b5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．答案至少有两个内角是直角6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．证明假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．综合提高限时25分钟7．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则()．A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B.答案B8．以下各数不能构成等差数列的是()．A．3,4,5B.2，3，5C．3,6,9D.2，2，2解析假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．答案B9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角10．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．解析“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案a，b不全为011．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x22x－2，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，恒有an3成立．证明法一(直接证法)由an＋1＝f(an)得an＋1＝a2n2an－2，∴1an＋1＝－2a2n＋2an＝－21an－122＋12≤12，∴an＋10或an＋1≥2；(1)若an＋10，则an＋103，∴结论“当n≥2时，恒有an3”成立；(2)若an＋1≥2，则当n≥2时，有an＋1－an＝a2n2an－2－an＝－a2n＋2an2an－1＝－anan－22an－1≤0，∴an＋1≤an，即数列{an}在n≥2时单调递减；由a2＝a212a1－2＝168－2＝833，可知an≤a23，在n≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n≥2时，恒有an3成立．法二(用反证法)假设an≥3(n≥2)，则由已知得an＋1＝f(an)＝a2n2an－2，∴当n≥2时，an＋1an＝an2an－2＝12·1＋1an－1≤121＋12＝341，(∵an－1≥3－1)，又易证an0，∴当n≥2时，an＋1an，∴当n2时，anan－1…a2；而当n＝2时，a2＝a212a1－2＝168－2＝833，∴当n≥2时，an3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有an3成立．