数学分析9.5微积分学基本定理定积分计算

第九章定积分5微积分学基本定理·定积分计算(续)一、变限积分与原函数的存在性定义：设f在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x∈[a,b],f在[a,x]上也可积.于是由φ(x)=xaf(t)dt,x∈[a,b]，定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似的又可定义变下限的定积分ψ(x)=bxf(t)dt,x∈[a,b].φ与ψ统称为变限积分.注：∵bxf(t)dt=-xbf(t)dt，所以变上限的定积分和变下限的定积分可以互相转换.定理9.9：若f在[a,b]上可积，则φ(x)=xaf(t)dt在[a,b]上连续.证：对[a,b]上任一确定的点x，只要x+△x∈[a,b]，就有△φ=xxaf(t)dt-xaf(t)dt=xxaf(t)dt+axf(t)dt=xxxf(t)dt.又f在[a,b]上有界，可设|f(t)|≤M,t∈[a,b]，则当△x0时，有|△φ|=|xxxf(t)dt|≤xxx|f(t)|dt≤M△x；当△x0时，有|△φ|≤M|△x|，∴0xlim△φ=0，即φ在点x连续.又由x的任意性知，φ在[a,b]上连续.定理9.10：(原函数存在定理)若f在[a,b]上连续，则φ(x)=xaf(t)dt在[a,b]上处处可导，且.φ’(x)=xaf(t)dxddt=f(x),x∈[a,b].证：对[a,b]上任一确定的点x，当△x≠0且x+△x∈[a,b]时，根据积分第一中值定理，有x△φ△=xxxf(t)x△1dt=f(x+θ△x),0≤θ≤1.∵f在点x连续，∴φ’(x)=x△φ△lim0x=0xlimf(x+θ△x)=f(x).由x在[a,b]上的任意性，证得φ是f在[a,b]上的一个原函数.注：定理9.10沟通了导数和定积分之间的内在联系，同时证明了“连续函数必有原数学”，又以积分形式给出了f的一个原函数，因此被誉为微积分学基本定理.例：利用定理9.10证明牛顿——莱布尼茨公式.证：可设函数f的原函数为F(x)=xaf(t)dt+C.令x=a，得F(a)=C.∴xaf(t)dt=F(x)-F(a).再令x=b，又得baf(t)dt=F(b)-F(a)，得证.定理9.11：(积分第二中值定理)设f在[a,b]上可积，(1)若函数g在[a,b]上减，且g(x)≥0，则存在ξ∈[a,b]，使得baf(x)g(x)dx=g(a)ξaf(x)dx；(2)若函数g在[a,b]上增，且g(x)≥0，则存在η∈[a,b]，使得baf(x)g(x)dx=g(b)bηf(x)dx.证：(1)设F(x)=xaf(t)dt+C,x∈[a,b].∵f在[a,b]上可积，∴F在[a,b]上连续，从而有最大值M和最小值m.若g(a)=0，∵g在[a,b]上减，且g(x)≥0，∴g(x)≡0,x∈[a,b]，成立.当g(a)0时，由f有界可设|f(x)|≤L,x∈[a,b].由g可积，任给ε0，有Tigix△ωLε.又I=baf(x)g(x)dx=n1ixx)x(g)x(fi1-idx=n1ixx1-ii1-i)x()]fg(x-[g(x)dx+n1ixx1-ii1-i)x(f)g(xdx=I1+I2.∵|I1|≤n1ixx1-ii1-i|)x(f||)g(x-g(x)|dx≤LTigix△ωL·Lε=ε.I2=n1i1-i)g(x[F(xi)-F(xi-1)]=g(x0)[F(x1)-F(x0)]+…+g(xn-1)[F(xn)-F(xn-1)]=F(x1)[g(x0)-g(x1)]+…+F(xn-1)[g(xn-2)-g(xn-1)]+F(xn)g(xn-1)=1-n1ii)F(x[g(xn-1)-g(xi)]+F(xn)g(xn-1).由g(x)≥0且减，使g(xn-1)≥0，g(xn-1)-g(xi)≥0，F(xi)≤M，i=1,2,…,n-1，得I2≤M1-n1ii1-i)]g(x-)[g(x+Mg(xn-1)=Mg(a).同理可得I2≥mg(a).∴mg(a)-εIMg(a)+ε.由ε的任意性可得：mg(a)≤I≤Mg(a).即mg(a)≤baf(x)g(x)dx≤Mg(a)，∴m≤g(a)1baf(x)g(x)dx≤M；根据连续函数的介值性，可得F(ξ)=ξaf(t)dt=g(a)1baf(x)g(x)dx，即有baf(x)g(x)dx=g(a)ξaf(x)dx.(2)与(1)类似可证.或令p,q分别与f,g关于y轴对称，则p,q在[-b,-a]上符合(1)的条件，∴-ab-p(-x)q(-x)d(-x)=q(-b)-ηb-p(-x)d(-x),x∈[a,b].又p(-x)=f(x)，q(-x)=g(x)，且分别存在关于y轴对称的原函数；∴-abf(x)g(x)dx=-g(b)ηbf(x)dx，∴baf(x)g(x)dx=g(b)bηf(x)dx.推论：设f在[a,b]上可积，若g为单调函数，则存在ξ∈[a,b]，使得baf(x)g(x)dx=g(a)ξaf(x)dx+g(b)bξf(x)dx.证：若g单调减，则令h(x)=g(x)-g(b)≥0，∴存在ξ∈[a,b]，使得baf(x)h(x)dx=h(a)ξaf(x)dx=[g(a)-g(b)]ξaf(x)dx.又baf(x)h(x)dx=baf(x)g(x)dx-g(b)baf(x)dx，∴baf(x)g(x)dx=[g(a)-g(b)]ξaf(x)dx+g(b)ξaf(x)dx+g(b)bξf(x)dx=g(a)ξaf(x)dx+g(b)bξf(x)dx，得证.同理，若g单调增，则令h(x)=g(x)-g(a)≥0，可证.二、换元积分法与分部积分法定理9.12：(定积分换元积分法)若f在[a,b]上连续，φ在[α,β]上连续可微，且满足φ(α)=a,φ(β)=b，a≤φ(t)≤b,t∈[α,β]，则有：baf(x)dx=βα(t))f(φφ’(t)dt.(定积分换元公式)证：∵f在[a,b]上连续，可设F是f在[a,b]上的一个原函数，则dtdF(φ(t))=F’(φ(t))φ’(t)=f(φ(t))φ’(t)，∴F(φ(t))是f(φ(t))φ’(t)的一原函数，根据牛顿—莱布尼茨公式，证得：βα(t))f(φφ’(t)dt=F(φ(β))-F(φ(α))=F(b)-F(a)=baf(x)dx.例1：求102x-1dx.解：令x=sint,则t∈[0,2π]，原式=2π02tsin-1dsint=2π02tcosdt=212π01)(cos2xdt=21(t+21sin2t)|2π0=21(2π+21sinπ)=4π.例2：求2π02tsintcosdt.解：2π02tsintcosdt=-2π02tcosdcost=-012xdx=102xdx=3x3|10=31.例3：求102x1x)ln(1dx.解：令x=tant，则t∈[0,4π].原式=4π02ttan1tant)ln(1dtant=tsectsectant)ln(124π02dt=4π0tant)ln(1dt=4π0costsintcostlndt=4π0costt)-4πcos(2lndt=4π02lndt+4π0t)-4πlncos(dt-4π0lncostdt令u=4π-t，则u∈[0,4π]且随t的增大而减小.4π0t)-4πlncos(dt=04πlncosud(4π-u)=4π0lncosudu.∴原式=4π02lndt+4π0lncosudu-4π0lncostdt=4π02lndt=8πln2.定理9.13：(定积分分部积分法)若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：bau(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba-bav(x)u’(x)dx.证：∵uv是uv’+u’v在[a,b]上的一个原函数，∴bau(x)v’(x)dx+bav(x)u’(x)dx=(x)v(x)u(x)u[v(x)badx=u(x)v(x)|ba，移项得：bau(x)v’(x)dx=u(x)v(x)|ba-bav(x)u’(x)dx.例4：求e12lnxxdx.解：e12lnxxdx=e1lnx31dx3=31(x3lnx|e1-e13xdlnx)=31(e3-e12xdx)=31(e3-31x3|e1)=92e3+91.例5：求2π0nxsindx和2π0nxcosdx,n=1,2,….解：记In=2π0nxsindx，则In=-2π01-nxsindcosx=-sinn-1xcosx|2π0+2π0cosxdsinn-1x=(n-1)2π022-nxxcossindx=(n-1)2π0n2-nx)sin-x(sindx=(n-1)(In-2-In)，∴In=n1-nIn-2.∴I0=2π0dx=2π；I1=2π0sinxdx=-cosx|2π0=1.重复递推可得：I2m=!2m!!1)!-(2m·2π；I2m+1=!1)!(2m!2m!,m=1,2,….令x=2π-t,2π0nxcosdx=02πn)t-2π(cosd(2π-t)=-02πntsindt=2π0nxsindx.沃利斯公式：2π=12m1!1)!-(2m!(2m)!lim2m.证明：由2π012mxsindx2π02mxsindx2π01-2mxsindx，得：!1)!(2m!2m!!2m!!1)!-(2m·2π!1)!-(2m!2)!-(2m.又得：Am=12m1!1)!-(2m!(2m)!22π2m1!1)!-(2m!(2m)!2=Bm.∵02π-AmBm-Am=1)2m(2m1!1)!-(2m!(2m)!22π2m1→0(m→∞)，∴mlim(2π-Am)=0，即mlimAm=2π，得证.三、泰勒公式的积分型余项若在[a,b]上u,v有n+1阶连续导函数，则有推广的分部积分公式：bau(x)v(n+1)(x)dx=[u(x)v(n)(x)-u’(x)v(n-1)(x)+…+(-1)nu(n)(x)v(x)]|ba+(-1)n+1ba1)(n(x)uv(x)dx,(n=1,2,…).设函数f在点x0的某邻域U(x0)内有n+1阶连续导函数，令x∈U(x0),u(t)=(x-t)n,v(t)=f(t),t∈[x0,x](或[x,x0])，利用推广的分部积分公式，有：xxn0t)-(xf(n+1)(t)dt=[(x-t)nf(n)(t)+n(x-t)n-1f(n-1)(t)+…+n!f(t)]|xx0+xx00f(t)dt=n!f(x)-n![f(x0)+f’(x0)(x-x0)+…+n!)(xf0(n)(x-x0)n]=n!Rn(x).其中Rn(x)=xxn1)(n0t)-(t)(xfn!1dt即为泰勒公式的n阶余项，即泰勒公式的积分型余项.∵f(n+1)(t)连续，(x-t)n在[x0,x](或[x,x0])上同号，由推广的积分第一中值定理，可得：Rn(x)=n!1f(n+1)(ξ)xxn0t)-(xdt=1)!(n1f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1.其中ξ=x0+θ(x-x0),0≤θ≤1.直接运用积分第一中值定理则得：Rn(x)=n!1f(n+1)(ξ)(x-ξ)n(x-x0).由(x-ξ)n(x-x0)=[x-x0-θ(x-x0)]n(x-x0)=(1-θ)n(x-x0)n+1,得泰勒公式的柯西型余项：Rn(x)=n!1f(n+1)(x0+θ(x-x0))(1-θ)n(x-x0)n+1.特别当x0=0时，有R