高等数学2知识点总复习

高等数学总复习知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；cos||||baba.||)1(2aaa0)2(ba.ba(其中为a与b的夹角)zzyyxxbabababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa知识点1.数量积、向量积、夹角余弦；sin||||||bac(其中为a与b的夹角).0)1(aaba)2(//.0bazyxzyxbbbaaakjibaba//zzyyxxbababa例1已知}4,1,1{a，}2,2,1{b，求(1)ba；(2)a与b的夹角。解ba)1(2)4()2(111.9222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa,21.43例2求与kjia423，kjib2都垂直的单位向量.解zyxzyxbbbaaakjibac211423kji,510kj,55510||22c||0ccc.5152kj知识点2：平面及其方程（三种形式）平面的点法式方程:0DCzByAx平面的一般方程:000()()()0AxxByyCzz1czbyax平面的截距式方程:222222212121212121||cosCBACBACCBBAA两平面夹角余弦公式:21)1(;0212121CCBBAA21)2(//.212121CCBBAA例3求过点)1,1,1(，且垂直于平面7zyx和051223zyx的平面方程.},1,1,1{1n}12,2,3{2n取法向量21nnn},5,15,10{,0)1(5)1(15)1(10zyx化简得.0632zyx所求平面方程为解例4求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.设平面为,1czbyaxxyzo,1V,12131abc由所求平面与已知平面平行得tcba611161（向量平行的充要条件）解化简得tcba61161,61ta,1tb,61tcttt61161611代入体积式,61t,1,6,1cba.666zyx所求平面方程为知识点3：空间直线及其方程0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程:ptzzntyymtxx000直线的参数方程:直线的对称式方程:pzznyymxx00022222221212121212121||),cos(pnmpnmppnnmmLL^两直线的夹角公式CpBnAm平面:垂直：平行：夹角公式：直线:),,(,0CBAnDCzByAx),,(,pnmspzznyymxx0ns0nsnsnssin机动目录上页下页返回结束知识点3：空间直线及面线间的关系方程例.求直线与平面的交点.提示:化直线方程为参数方程代入平面方程得1t从而确定交点为（1，2，2）.t机动目录上页下页返回结束例5一直线L过点(-3,2,5)，且和直线15234zyxzx平行，求其方程.解所求直线方程.153243zyx}1,3,4{51240121kjinns方法2:设},,{pnms13405204,21pnmpnmpmnsns}1,3,4{s取练习:设有直线182511:1zyxL与326:2zyyxL则L1与L2的夹角为6)A(4)B(3)C(2)D([注]L1和L2的方向向量分别为和}1,2,1{1s},2,1,1{2s3,21||||/cos2121ssss知识点4：二元函数的定义域与极限例6求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD例7求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2求极限:2222220000111cos()lim.lim;()xxyyxyxyxyxyxy知识点5：二元函数求偏导数；zzdzdxdyxy全微分:.dzzduzdvdtudtvdt多元复合函数链式法则:xzuzxuvz,xvyzuzyuvz.yv特殊地),,(yxufz),(yxu即],,),,([yxyxfz,xfxuufxz.yfyuufyz令,xv,yw其中,1xv,0xw,0yv.1yw把复合函数],),,([yxyxfz中的y看作不变而对x的偏导数把),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数两者的区别区别类似zyxuyx例,sin,),,(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yxcos2机动目录上页下页返回结束隐函数存在定理设函数),,(zyxF在点,(0xP),00zy的某一邻域内有连续的偏导数，且,(0xF0),00zy，0),,(000zyxFz，则方程,,(yxF0)z在点),,(000zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数),(yxfz，它满足条件),(000yxfz，并有zxFFxz，zyFFyz.0),,(zyxFzxFFxz例.设F(x,y)具有连续偏导数,解利用偏导数公式.212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF111F)(2zx2F)(2zyzF12确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF已知方程机动目录上页下页返回结束故zxFFxzzyFFyz多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导1．函数),(yxfz在点),(00yx处可微的充分条件是:（1）),(yxf在点),(00yx处连续；（2）),(yxfx、),(yxfy在点),(00yx的某邻域存在；（3）yyxfxyxfzyx),(),(，当0)()(22yx时是无穷小量；（4）22)()(),(),(yxyyxfxyxfzyx,当0)()(22yx时是无穷小量.2、二元函数f(x，y)在点（x0，y0)处两个偏导数),(),,(0000yxfyxfyx存在，是f(x，y)在该点连续的（A）充分条件而非必要条件（B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件又非必要条件.),(lim),(lim),(lim),(),(),),(),(300000000存在）存在；及）点可微；在）点连续；在都存在，则的两个偏导数在、yxfDyxfyxfCPyxfBPyxfAffyxPyxfyyxxyyxxyx.)),(),(),(4）必不可微）偏导数必不存在；）极限必不存在；必无定义；在该点处处不连续，则在、设DCBAyxfyxyxfZ5、二元函数)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf在点(0,0)处(A)连续、偏导数存在（B）连续、偏导数不存在(C)不连续、偏导数存在（D）不连续、偏导数不存在,0)0,0()0,0(lim)0,0(0xfxffxx,0)0,0(yf偏导数存在，又当（x，y）沿y=kx趋向于（0，0）时22220001)(lim),(limkkkxxkxyxfxkxyx随着k的不同，该极限值也不同，所以极限不存在，f(x，y)在（0，0）不连续。),(lim00yxfyx例8设13323xyxyyxz，求22xz、xyz2、yxz2、22yz及33xz.解xz,33322yyyxyz;9223xxyyx22xz,62xy22yz;1823xyx33xz,62yxyz2.19622yyxyxz2,19622yyx例9求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解),2sin(yxyxz),2sin(2)2cos(yxyyxyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82例10设),(xyzzyxfw，f具有二阶连续偏导数，求xw和zxw2.解令,zyxu;xyzv记,),(1uvuff,),(212vuvuff同理有,2f,11f.22fxwxvvfxuuf;21fyzfzxw2)(21fyzfz;221zfyzfyzfzf1zvvfzuuf11;1211fxyfzf2zvvfzuuf22;2221fxyf于是zxw21211fxyf2fy)(2221fxyfyz.)(22221211fyfzxyfzxyf例11设),(xyzzyxfz，求xz，yx，zy.解令),,(zyxFzxyzzyxf),(,2'1'yzffFx,2'1'xzffFy12'1'xyffFzzxFFxz,1'21'2'1'xyffyzffxyFFyx,'21'2'1'yzffxzffxyz.,22222yxzyzxz和练习:设,求例12已知xyyxarctanln22，求dxdy.解令则,arctanln),(22xyyxyxF,),(22yxyxyxFx,),(22yxxyyxFyyxFFdxdy.xyyx知识点6：多元函数微分学的几何应用1.曲线切线方程:.)()()(000000tzztyytxx2.曲线的法平面：0))(())(())((000000zztyytxxt3.切平面方程:000()()()0xyzFxxFyyFzz4.曲面的法线方程为:),,(),,(),,(000000000000