第21讲Fubini定理

第21讲Fubini定理目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。重点与难点：Fubini定理及其证明。第21讲Fubini定理基本内容：同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等，以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对被积函数加上较强的条件，本节将会看到，Lebesgue积分中对此类问题所要求的条件也比Riemann积分弱得多。第21讲Fubini定理一．可测矩形的截口问题1：回忆微积分中如何化重积分为累次积分？什么样的积分区域可以使重积分化成累次积分？第21讲Fubini定理问题2：在一般可测集上如果考虑重积分化成累次积分问题，应首先考虑什么问题？第21讲Fubini定理本质上讲作为乘积空间中的集合是比较简单的，它有点象平面内的矩形。这样的集合有一个特点，对任意是在中的一个平移，它们到中的点x，对应的集合对不同的x可能差别很大。BABxAx}{,B}0{mnRmR}),(|{EyxRyEmxmnR第21讲Fubini定理这就象平面内两条曲线在区间[a,b]之间围成的图形，对任意或一般是不一样的，所以对可测集的可测性不是显而易见的。)(),(xgyxfy)(),(],,[xgxfbax)()(xfxgxmnERE,第21讲Fubini定理为使问题的解决更方便些，我们采用略为抽象的形式来叙述。记分别为及中的Lebesgue可测集类，则它们都是-域。定义为包含所有的可测矩形的的最小的-域，则有mnmnLLL,,mnRR,mnRmnLLmnRR第21讲Fubini定理引理1：。换言之，中集均为中的Lebesgue可测集。mnmnLLLmnLLmnR证明：由于是域，且每个可测矩形都在中，故显然有mnLmnL证毕。.mnmnLLL第21讲Fubini定理引理2中的任意Borel集在中。证明：注意到中的每个长方体显然在中，而开集可以表成可数个左开右闭的长方体之并，因此，开集也在中，由是域及Borel集的定义立知每个Borel集都在中。证毕。mnRmnLLmnRmnLLmnLLmnLLmnLL第21讲Fubini定理定理2对任意存在使且。证明：取中的Borel集，使，取Borel集，使，则由引理2知证毕。mnLE21EEE0)()(21EEmEEmmnLLEE21,mnLEE20)(2EEmEE10)(1EEmmnLLEE21,第21讲Fubini定理定义1设,,,00mnmnRyRxRE},),(|{00EyxRyEmx0xE0yE},),(|{00EyxRxEny记称为E在x0处的x-截口，为E在y0处的y-截口。第21讲Fubini定理问题3：对Rn+m中任一可测集，其截口是否均可测？为什么？第21讲Fubini定理定理3若，则对任意，，都有，。mnLLEmRymxLE证明：设L是所有中满足(任意)，(任意)集合E的全体。如果，则当时，，当时，，当时，。故。mnLLmxLEnRxnyLEmRyBAEAxBExAxxEByyELEnRxnyLE第21讲Fubini定理不难证明下列命题都是正确的：(i)。(ii)若，则，，因此。(iii)若且，则故由是域知。LRRmnLE)()(xxECCELCE),3,2,1(iLEi1iiEE11,)(,)(iyiiyxixEEEEmnLL,LE)()(yyECCE第21讲Fubini定理以上三者意味着L是一个域且含所有的可测矩形，而是含所有可测矩形的最小域，故，但因，所以。证毕。mnLLmnLLLmnLLLmnLLL第21讲Fubini定理应该看到，由于与中元可能相差一个零测集，所以我们不能由此断言，对任意及任意都是可测集，不过可以证明，对几乎所有是中的可测集，对几乎所有的是中的可测集，有兴趣的读者可以参看江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》(高教出版社，1998)中有关章节。mnLmnLLmnLEyxmnEERyRx,,,xnERx,mRymERy,nR第21讲Fubini定理二．可测矩形生成的类问题4：如果定义乘积空间上的测度，则至少可测矩形应该可测，除此而外还有什么样的集合在乘积测度意义下应是可测的？它们构成什么样的集类？三．Ln×Lm与Ln+m的关系问题5：Ln×Lm中的集合与Ln+m中的集合差别有多大？第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理四．单调类问题6：如果定义了一个可测集类，按上面的讨论，可测矩形应在其中，从而可测矩形的有限不交并也应在其中，在这些可测集类中，有没有一个最小的？它是什么？第21讲Fubini定理(1)最小单调类定义2设M是一个集簇，具有下列性质：若分别是单调递增和单调递减的两个集列，则，称M为一个单调类。MBMAii,,,11iiiiBBAAMBMA,第21讲Fubini定理(2)Ln×Lm的最小性证明定理4Ln×Lm是含所有可测矩形的有限不交并的最小的单调类。证明：设M是含所有可测矩形有限不交并的最小单调类，则由于显然是一个单调类，我们有。往证M是域，从而，进而得。mnLLmnLLMMLLmnmnLLM第21讲Fubini定理设，则下式恒成立：)2,1(,iLBLAmini)()(2211BABA)]()[(])[(2121121BBAABAA)())(()(22112111BABABBBA第21讲Fubini定理EER|{可见两个可测矩形的交仍是可测矩形，它们的差是两个不相交的可测矩形之并，记是有限个不相交的可测矩形之并}。由上面的证明不难看出，对任意均在R中，又，且，所以，也有这说明R是一个环。第21讲Fubini定理212121,,,EEEEREE22121)(EEEEE221)(EEEREE21第21讲Fubini定理对于任意，定义则显然有下列性质：mnLLE},,|{)(MFEFEEFLLFEmn)(E第21讲Fubini定理(1))()(FEEF(2)由于M是单调类，每一个也是单调类，对固定的，由于R是环，所以，这就是说是含R的单调类，由M的最小性知。RE)(ER)(E)(EM)(E第21讲Fubini定理现在固定，若，则由刚才的证明知，据(1)，知，因此，再次由(1)得。RERF)(FE)(EF)(ER)(EM综上立知，若，则，，且MFE,MFEMFE第21讲Fubini定理(i)由于，故。(ii)由于对任意(因为)，所以若，则。(iii)若，令，则Fk是单调上升的集列，而M是对有限并运算封闭的单调类，故。RRRmnMRRmnMFEMFE,,MEMCE1,,2,1,iiiEEiMEkiikEF1MFEkk1)(EM第21讲Fubini定理因此M是含R的域，由于是含R的最小的域，故，从而。证毕。mnLLMLLmnMLLmn作业：P16821