投资的收益和风险的数学建模

第25卷第1期2011年2月河南财政税务高等专科学校学报JournalofHenanCollegeofFinance＆TaxationVol．25．No．1Feb．2011［收稿日期］2010－12－30［基金项目］云南省2009～2010年高等职业院校基础课程教学改革项目［作者简介］叶华玲(1961—)，女，云南楚雄人，云南交通职业技术学院讲师，研究方向为数学教育;王荣琴(1966—)，女，贵州遵义人，云南交通职业技术学院副教授，教育硕士，研究方向为数学教育与应用数学研究;王刚(1967—)，男，四川广安人，云南交通职业技术学院副教授，工学硕士、教育硕士，研究方向为应用数学研究。投资的收益和风险的数学建模叶华玲，王荣琴，王刚(云南交通职业技术学院文理学院，云南昆明650101)［摘要］在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，然而投资是要承担风险的，收益与风险之间存在难以调和的矛盾，怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要问题。可以利用数学建模思想和方法，通过相应数学模型的建立和MATLAB求解，绘制出最优收益随风险度变化的趋势图，选择图中曲线的拐点作为最优投资组合。［关键词］投资;收益;风险;数学建模［中图分类号］F830．59;F224．0［文献标识码］A［文章编号］1008－5793(2011)01－0027－04当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。MATLAB是一种准确、可靠的科学计算标准软件，它具有强大的矩阵运算功能与函数多样性功能，是数学建模中常用的工具。一般说来，在现代商业、金融投资中，投资者总是希望实现收益最大化，关注于采用什么样的投资方式可以使总收益最大。然而投资是要承担风险的，而且高收益总是伴随着高风险，收益与风险之间存在着难以调和的矛盾。怎样兼顾两者，寻找切实可行的决策思想，是投资的收益和风险决策的一个重要问题。一、问题的提出市场上有n种资产si(i=0，1，2，……，n)可以选择，现用数额为M的相当大的资金进行一个时期的投资。这n种资产在这一时期内购买si的平均收益率为ri，风险损失率为qi，投资越分散，总的风险越小，总体风险可用投资的si中最大的一个风险来度量。购买si时要付交易费(费率pi)，当购买额不超过给定值ui时，交易费按购买ui计算。另外，假定同期银行存款利率是r0(r0=5%)，既无交易费又无风险。已知n=4时相关数据为siri(%)qipiuiS1282．51103S2211．52198S3235．54．552S4252．66．54072试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，总体风险尽可能小。二、基本假设和符号规定基本假设:1．投资数额M相当大，为了便于计算，假设M=1;2．投资越分散，总的风险越小;3．总体风险用投资项目si中最大的一个风险来度量;4．n种资产si之间是相互独立的;5．在投资的这一时期内，ri、pi、qi、r0为定值，不受意外因素影响;6．净收益和总体风险只受ri、pi、qi影响，不受其他因素干扰。符号规定:si—第i种投资项目，如股票、债券等，s0表示不投资ri，pi，qi—分别为si的平均收益率，风险损失率，交易费率ui—si的交易定额r0—同期银行利率xi—投资项目si的资金a—投资风险度Q—总体收益ΔQ—总体收益的增量三、模型的建立与分析1．总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量，即max{qixi|i=1，2，……，n}2．购买Si所付交易费是一个分段函数，交易费=pixixi＞uipiuixi≤u{i而题目所给定的定值ui(单位:元)相对总投资M很小，piui更小，可以忽略不计。这样购买Si的净收益为(ri－pi)xi3．要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型目标函数:MAXΣni=0(ri－pi)xiMINmax{qixi{}约束条件:Σni=0(1+pi)xi=Mxi≥0;i=0，1，……，{n4．模型简化(1)在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型1固定风险水平，优化收益目标函数:Q=MAXΣn+1i=1(ri－pi)xi约束条件:qixiM≤aΣni=0(1+pi)xi=Mxi≥0;i=0，1，……，{n(2)若投资者希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。82模型2固定盈利水平，极小化风险目标函数:R=MIN{max{qixi}}约束条件:Σni=0(ri－pi)xi≥kΣni=0(1+pi)xi=Mxi≥0;i=0，1，……，{n(3)投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益赋予权重s(0＜s≤1)，s称为投资偏好系数。模型3设定投资偏好，平衡风险目标函数:H=MIN{max{qixi}}－(1－s)Σni=0(ri－pi)xi约束条件:Σni=0(1+pi)xi=Mxi≥0;i=0，1，……，{n四、以模型1为例的MATLAB求解文中开始部分提出的投资风险问题，如果采用上述数学模型1，建立数学模型为minf=(－0．05，－0．27，－0．19，－0．185，－0．185)(x0x1x2x3x4)Ts．t．x0+1．01x1+1．02x2+1．045x3+1．065x4=10．025x1≤a0．015x2≤a0．055x3≤a0．026x4≤axi≥0;i=1，2，3，4由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者认同不同的风险度。不妨从a=0开始，以步长△a=0．001进行循环搜索，编制MATLAB程序为a=0;while(1．1－a)＞1c=［－0．05－0．27－0．19－0．185－0．185］;Aeq=［11．011．021．0451．065］;beq=［1］;A=［00．025000;000．01500;0000．0550;00000．026］;b=［a;a;a;a］;vlb=［0，0，0，0，0］;vub=［］;［x，val］=linprog(c，A，b，Aeq，beq，vlb，vub);ax=x＇Q=－valplot(a，Q，＇．＇)，axis(［00．100．5］)，holdona=a+0．001;endxlabel(＇a＇)，ylabel(＇Q＇)计算结果:a=0．0030x=0．49490．12000．20000．05450．1154Q=0．1266a=0．0060x=00．24000．40000．10910．2212Q=0．201992a=0．0080x=0．00000．32000．53330．12710．0000Q=0．2112a=0．0100x=00．40000．584300Q=0．2190a=0．0200x=00．80000．188200Q=0．2518a=0．0400x=0．00000．99010．000000Q=0．2673最优收益随风险度的变化趋势如图1所示，图中的任一点都表示该风险水平下的最大可能收益和该受益要求下的最小风险，横坐标为风险度a，纵座标为收益Q。图1最优收益随风险度变化的趋势图五、结果分析1．风险大，收益也大。2．当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。3．曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。可以针对不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。4．在a=0．006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快;在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢。对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0．6%，Q*=20%，所对应投资方案为风险度收益x0x1x2x3x40．00600．201900．24000．40000．10910．2212［参考文献］［1］赵静，但琦．数学建模与数学实验［M］．北京:高等教育出版社，2000．［2］张志涌．掌握和精通MATLAB［M］．北京:北京航空航天大学出版社，2000．［3］杨海明，王燕．投资学［M］．上海:上海人民出版社，1998．［4］何坚勇．运筹学基础［M］．北京:清华大学出版社，2000．［5］李雏铮．运筹学［M］．北京:清华大学出版社，1982．［责任编辑:高峰雁］03