常微分方程初值问题的数值解法

第七章常微分方程初值问题的数值解法--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。二、本章知识梳理7.1常微分方程初值问题的数值解法一般概念步长h，取节点0,(0,1,...,)nttnhnM，且MtT，则初值问题000'(,),()yftyttTyty的数值解法的一般形式是1(,,,...,,)0,(0,1,...,)nnnnkFtyyyhnMk7.2显示单步法7.2.1显示单步法的一般形式1(,,),(0,1,...,1)nnnnyyhtyhnM定理7.2.1设增量函数(,,)nntyh在区域00{(,,)|,||,0}DtyhttTyhh内对变量y满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对D内任何两点1(,,)tuh和2(,,)tuh，不等式1212|(,,)(,,)|||tuhtuhKuu成立，那么，若单步法的局部截断误差1nR与1(1)php同阶，即11()pnROh，则单步法的整体截断误差1n与ph同阶，即1()pnOh。(且称单步法为p阶方法)7.2.2Runge-Kutta方法(显式单步法)1111111(,)(,)(2,3,...,)(2,3,...,)(0,1,...,1)NnniiinniininijjjiiijjyyhckkftykftahyhbkiNabiNnMN级R-K方法的局部截断误差为111()()NnnniiiRytythck，其中12,,...Nkkk中的ny都换成()nyt。一级一阶R-K（Euler方法）1(,)nnnnyyhfty231''()()2nnhRytOh二级R-K1112212221()(,)(,)nnnnnnyyhckckkftykftahyahk最高阶数是二阶，需满足条件122210102ccac33'42211()'''()''()()644nnnyaaRhythytfOh1c2c2a改进Euler法1/21/21中点公式011/2Heun(休恩)方法1/43/42/3四级R-K经典R-K方法（四阶）112341213243(22)6(,)11(,)2211(,)22(,)nnnnnnnnnnhyykkkkkftykfthyhkkfthyhkkfthyhk三、本章思考题问题：使用数值解法求解初值问题时步长h由什么决定？答：步长h的选择应由两个条件决定：1、要使求解过程绝对稳定2、要使每个节点处的整体截断误差1n按模不超过给定的界限。四、本章测验题题目：用梯形公式求得的近似解为22kkhyh证明：梯形公式为1,1,1[]2kkkkkkhyyfxyfxy将,fxyy代入上式，得：11()2kkkkhyyyy解得：21110222222kkkkhhhyyyyhhh因01y,故22kkhyh