2013年江苏高考数学试卷解析版

第1页YN输出n开始1a2n，1nn32aa20a结束（第5题）2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符.4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.函数)42sin(3xy的最小正周期为▲.解析：2==2T2.设2)2(iz(i为虚数单位)，则复数z的模为▲.解析：2234,34=5ZiZ3.双曲线191622yx的两条渐近线的方程为▲.解析：3y=4x4.集合1,0,1共有▲个子集.解析：328（个）5.右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲解析：经过了两次循环，n值变为3第2页6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲.解析：易知均值都是90，乙方差较小，22222221118990909091908890929025niisxxn7.现有某类病毒记作nmYX，其中正整数)9,7(,nmnm可以任意选取，则nm,都取到奇数的概率为▲.解析：m可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个n可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963种可能符合题意的m可以取1,3,5,7共4个符合题意的n可以取1,3,5,7,9共5个所以总共有4520种可能符合题意所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED,,分别是1,,AAACAB的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV▲.第3页解析：112211111334224ADEABCVShShV所以121:24VV9.抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是▲.解析：易知切线方程为：21yx所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为0,00.5,00,1ABC易知过C点时有最小值2，过B点时有最大值0.510.设ED,分别是ABC的边BCAB,上的点，ABAD21,BCBE32,若ACABDE21(21,为实数)，则21的值为▲.解析：易知121212232363DEABBCABACABABAC所以121211.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为▲.解析：第4页因为)(xf是定义在R上的奇函数，所以易知0x时，2()4fxxx解不等式得到xxf)(的解集用区间表示为5,05,12.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d.若126dd，则椭圆的离心率为▲.解析：由题意知2212,bcabddcacc所以有26bbcca两边平方得到2246abc，即42246aacc两边同除以4a得到2416ee，解得213e，即33e13.平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数)0(1xxy图像上一动点，若点AP,之间最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为▲.解析：由题意设0001,,0Pxxx则有222222200000200000111112++2=+-2+22PAxaaxaxaxaxaxxxxx令001t2xtx则222=(t)=t2222PAfatat对称轴ta1.2a时，22min2(2)2422428PAfaaaa1a，3a（舍去）2.2a时，22min2()228PAfaaa第5页10a，10a（舍去）综上1a或10a14.在正项等比数列na中，215a，376aa.则满足nnaaaaaaaa......321321的最大正整数n的值为▲.解析：2252552667123123115521155223.....1,.222222011521312913236002292212nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaqaqqaannqnqnqanN第6页112,nnN又12n时符合题意，所以n的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分14分）已知cossina，，cossinb，，0.(1)若2ab，求证：ab；(2)设01c,，若abc，求，的值.解：(1)cos,sin,cos,sin,0ab2ab22ab2222abab1122ab,0ab,ab(2)0,1,coscos,sinsin0,1coscos0sinsin1cabc①②22+①②得：2+2cos1，得1cos20023又coscos05,6616.（本小题满分14分）如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC,ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点第7页E,G分别是侧棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG//平面ABC;(2)BCSA.解：(1),EG分别是侧棱,SASC的中点EGAC∥AC在平面ABC中，EG在平面外EG∥平面ABC,ASABAFSB⊥F为SB中点EFAB∥AB在平面ABC中，EF在平面外EF∥平面ABCEF与EG相交于E,EFEG在平面EFG中平面EFG//平面ABC(2)平面SAB⊥平面SBCSB为交线AF在SAB中，AFSB⊥AF⊥平面SBCAFBC⊥BCAB⊥AF与AB相交于A,AFAB在平面SAB中BC⊥平面SABBCSA⊥17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点03A,，直线24lyx：.设圆的半径为1，圆心在l上.第8页(1)若圆心C也在直线1yx上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解：（1）241yxyx①②①与②联立得到圆心坐标3,2C圆方程为22321xy切线斜率不存在时，不合题意设切线方程为3ykx232311kk解得0k或34k切线方程为3y或334yx（2）设,24Caa则圆方程为22241xaya设00(,)Mxy由题意2200241xaya2MAMO22220000344xyxy即220014xyM存在圆22241xaya与圆2214xy有交点即两圆相交或相切2222121d即221024(1)9aa1205a第9页18.（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至C处有两种路径.一种是从沿A直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，12cos13A，3cos5C.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：(1)123cos,cos1350,0,054sin,sin135ACABCAC+=ABC5312463sin=sin+=sincos+cossin=+=13513565BACACAC==sinsinsinACABBCBCAsin465==1260=1040msin563CABACB(2)sin==500sinABCACB设乙出发t8t分钟后，甲到了D处，乙到了E处则有=50t+100AD130AEt根据余弦定理2222cosDEAEADAEADA即2274001400010000DEtt当14000352740037t时，2DE有最小值第10页2507437DE(3)设甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，乙步行速度为V乙由题意1260126==min505t甲1040500500t=2++1+=11+min130VV乙乙乙12650031135V乙解不等式得12506254314V乙19.（本小题满分16分）设na是首项为a，公差为d的等差数列0d，nS是其前n项和.记2nnnSbnc，Nn*，其中c为实数.(1)若0c，且1b，2b，4b成等比数列，证明：2NnkkSnSk,n*；(2)若nb是等差数列，证明：0c.解：（1）10naandd22nnnSnad0c时，nnSbn112244122342SbaSdbaSdba124,,bbb成等比2142bbb第11页222222222322202nnkknkkddaaadadddaSnaSnkanSnkaSnS（2）由已知23222222nnnSnandndbncncnb是等差数列设nbknb（k,b为常数）有32222220kdnbdancknbc对任意nN恒成立202202020kdbdackbc0d00kc此时222dkadb命题得证20.（本小题满分16分）设函数lnfxxax，xgxeax，其中a为实数.(1)若fx在1,上是单调减函数，且gx在1,上有最小值，求a的范围；(2)若gx在1,上是单调增函数，试求fx的零点个数，并证明你的结论.第12页解：（1）'1()fxxa'()xgxea由题意：'()0fx对1,x恒成立即1ax对1,x恒成立1agx在1,上有最小值0a时，'()0gx恒成立，()gx在