2013-2019年全国一卷理科试题汇编---概率统计试题

1全国一卷分类汇编（2013年-2019年）——概率统计一、概率与排列组合1、（2013全国1卷.理3）为了解某地区的中小考生视力情况，拟从该地区的中小考生中抽取部分考生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段考生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A、简单随机抽样B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。C、按学段分层抽样D、系统抽样2．（2014全国1卷.理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A、81B、83C、85D、873、（2015全国1卷.理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A、0.648B、0.432C、0.36D、0.3124.（2016全国1卷.理4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A、31B、21C、32D、435．（2017全国1卷.理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．14B．π8C．12D．π4二、二项式定理1、（2013全国1卷.理9）设m为正整数，2()mxy展开式的二项式系数的最大值为a，21()mxy展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝()A、5B、6C、7D、82、（2014全国1卷.理13）8xyxy的展开式中27xy的系数为________.（用数字填写答案）3、（2015全国1卷.理10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为()A、10B、20C、30D、604、（2016全国1卷.理14）5)2(xx的展开式中，3x的系数是．（用数字填写答案）5．（2017全国1卷.理6）621(1)(1)xx展开式中2x的系数为（）2A、15B、20C、30D、356、（2018全国1卷.理3）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7、（2018全国1卷.理10）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p38、（2018全国1卷.理15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）9、（2019全国1卷.理6）我国古代典籍《周易》用卦描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，右图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.165B.3211C.3221D.161110、（2019全国1卷.理15）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）。根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”。设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是__________。3三、解答题1、（2013全国1卷.理19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。42、（2014全国1卷.理18）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值x和样本方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差2s.（i）利用该正态分布，求187.8212.2PZ；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2的产品件数.利用（i）的结果，求EX.附：15012.2若2~,ZN则0.6826PZ，220.9544PZ。53、（2015全国1卷.理19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费ix和年销售量iy（i=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()iixx821()iiww81()()iiixxyy81()()iiiwwyy46.656.36.8289.81.61469108.8表中iiwx，w=1881iiw（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与yx,的关系为xyz2.0.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：(ⅰ)年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？(ⅱ)年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)uv,22(,)uv，……，(,)nnuv,其回归线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为uvuuvvuuniiniii,)())((121^。64、（2016全国1卷.理19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(nXP，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n与20n之中选其一，应选用哪个？08910112040频数更换的易损零件数75、（2017全国1卷.理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)之外的零件数，求(1)PX及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix为抽取的第i个零件的尺寸，1,2,,16i．用样本平均数x作为的估计值ˆ，用样本标准差s作为的估计值ˆ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布2(,)N，则(33)0.9974PZ，160.99740.9592，0.0080.09．86、（2018全国1卷.理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？97、（2019全国1卷.理21）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药，一轮的治疗效果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X。（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，)8,,1,0(ipi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则)7,,2,1(101180icpbpappppiiii，，，其中)1()0()1(XPcXPbXPa，，。假设8.05.0，。（i）证明：)7,,2,1,0}({1ippii为等比数列；（ii）求4p，并根据4p的值解释这种试验方案的合理性。