导数在实际生活中的应用

一、填空题（每题4分，共24分）1.把长为12cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是____.【解析】设其中一段细铁丝长为xcm,则另一段长(12-x)cm.两个正三角形的面积之和为S=f(x)=［x2+(12-x)2］=(2x2-24x+144)=(x2-12x+72)，x∈(0,12)，由S′=(2x-12)=0,得x=6,223x312-x=()+()4343336336318318当0x6时,S′0,S=f(x)递减,当6x12时,S′0,S=f(x)递增,∴x=6是函数的最小值点,此时f(6)=2cm2.答案：2cm2332.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为____.【解析】设高为h,半径为r,则r2=202-h2,V=πr2·h=·π·(400-h2)·h=πh3+πh，V′=-πh2+π=0时，h=根据函数单调性的变化特点，知h=cm，体积最大.答案：40034003203cm.32033203cm31313133.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为____.【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,则πr2·h=27π,∴h=全面积S=πr2+2πr·h=πr2+2πr=πr2+S′=2πr-令S′=0,得r=3.当0r3时，S′0;当r3时，S′0.∴r=3时，S最小.答案：3227,r227r54.r254,r4.某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)=500+x-0.001x2,生产____单位这种商品时利润最大，最大利润是____.【解析】求最大利润，即求函数L(x)的最大值.∵L′(x)=1-0.002x.令L′(x)=0,即1-0.002x=0，得x=500,此时L(500)=750.由已知，L(x)在其定义域［0,+∞)上连续且只有一个极值点，所以可得生产500单位这种商品时利润最大，最大利润是750.答案：5007505.（2010·聊城高二检测）设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为____.【解析】∵S表只有一个极值，故x＝为最小值点.答案:34V34V6.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是则总利润最大时,每年生产的产量是____.21400x-x(0x400)R(x)=,280000(x400)【解析】由题意知总成本C(x)=20000+100x,∴总利润为P=R(x)-C(x)=令P′=0,当0≤x≤400时,得x=300,当x400时,P′0恒成立.∴知当x=300时,总利润最大.答案：30021300x-x-20000(0x400),260000-100x(x400)300-x(0x400)P=,-100(x400)三、解答题（每题8分，共16分）7.试验表明,某型号的汽车每小时的耗油量y(升)与速度x(千米/小时)的关系式为y=3().已知甲乙两地相距180千米,最高时速为V千米/小时.(1)当车速为x(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量为f(x)(升),求函数f(x)的解析式并指出函数的定义域;(2)当车速为多大时,从甲地到乙地的耗油量最少.33xx-+29080【解析】(1)f(x)=x∈(0,V].(2)f′(x)=解得x=90.若V≤90,有f′(x)≤0,则函数f(x)在区间(0,V]内为单调减函数,所以车速为V(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量最小;23180xx2×y=540(-+),x9080x3332322x2x-90540(-)=1080=0,90x90x若V90,当0x90时,f′(x)0;当90xV时,f′(x)0,所以,当x=90时,f(x)最小.综上,若V≤90,车速为V(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量最小;若V90,车速为90(千米/小时)时,从甲地到乙地的耗油量最小.8.某商场预计2010年从1月份起前x个月，顾客对某种商品的需求总量p(x)件与月份x的近似关系是p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*，且x≤12).该商品的进价q(x)元与月份x的近似关系是q(x)=150+2x(x∈N*，且x≤12)，（1）写出今年第x月的需求量f(x)件与月份x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？12【解题提示】(1)解答本题时写出今年第x个月的需求量f(x)与月份之间的函数关系是关键，注意验证x=1时的情况.(2)写出月利润的函数表达式后利用导数的有关性质去求最大利润.【解析】（1）当x=1时，f(1)=p(1)=37；当2≤x≤12时，f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x·(41-2x)=-3x2+40x(x∈N*，且2≤x≤12).验证x=1符合f(x)=-3x2+40x,∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*且1≤x≤12).1212（2）该商场预计销售该商品的月利润为g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x)=6x3-185x2+1400x(x∈N*，1≤x≤12),g′(x)=18x2-370x+1400,令g′(x)=0，解得x=5,x=(舍去).当1≤x＜5时，g′(x)＞0;当5＜x≤12时，g′(x)＜0,∴当x=5时，g(x)max=g(5)=3125（元）.综上5月份的月利润最大是3125元.14099.(10分)已知函数f(x)=x+lnx.(1)求函数f(x)在［1,e2］上的最值；（2）对x∈D，如果函数F（x）的图像在函数G（x）的图像的下方，则称函数F(x)在D上被函数G（x）覆盖.求证：函数f(x)在区间（1，+∞）上被函数g(x)=x2覆盖.【解题提示】F(x)在D上被G（x）覆盖的真实含义是对对任意x∈D,f(x)＜G(x).【解析】（1）∵f′(x)=1+0在［1,e2］上恒成立，∴f(x)在［1,e2］上为增函数.∴［f(x)］min=f(1)=1,［f(x)］max=f(e2)=e2+2.(2)∵g(x)-f(x)=x2-x-lnx,∴［g(x)-f(x)］′=2x-1-0在（1，+∞）上恒成立.∴函数F（x）=g(x)-f(x)在（1，+∞）上为增函数.∴g(x)-f(x)g(1)-f(1)=0.故f(x)在（1，+∞）上被函数g(x)=x2覆盖.1x1x