【教师专用】2015高考数学专题辅导与训练配套课件：选修2-2-选修2-3-导数的简单应用及定积分

第三讲导数的简单应用及定积分【主干知识】1.必记公式(1)基本初等函数的八个导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈R)f′(x)=______f(x)=sinxf′(x)=_____f(x)=cosxf′(x)=______αxα-1cosx-sinx原函数导函数f(x)=ax(a0,且a≠1)f′(x)=_____f(x)=exf′(x)=__f(x)=logax(a0,且a≠1)f′(x)=_____f(x)=lnxf′(x)=_____axlnaex1xlna1x(2)导数四则运算法则①[f(x)±g(x)]′=_______________;②[f(x)·g(x)]′=______________________;③=_________________(g(x)≠0).f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)fx[]gx2fxgxfxgxgx［］2.重要性质(1)函数的单调性与导数的关系若函数y=f(x)在某区间内可导,则①f′(x)0⇒f(x)为_______;②f′(x)0⇒f(x)为_______;③f′(x)=0⇒f(x)为常数函数.(2)函数的导数与极值若函数的导数存在,某点的导数等于零是函数在该点取得极值的_____________条件.增函数减函数必要而不充分(3)定积分的性质①kf(x)dx＝__________(k为常数)；②［f1(x)±f2(x)］dx＝__________________；③_________＝(其中acb).babakfxdxbb12aafxdxfxdxbafxdxcbacfxdxfxdx＋ba3.易错提醒（1）判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值时，忽视“导数等于零,并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立.（2）混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点,后者点P不一定为切点,求解时应先设出切点坐标.（3）关注函数的定义域：求函数的单调区间及极（最）值应先求定义域.【考题回顾】1.（2014·江苏高考改编）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+(a，b为常数)过点P(2,-5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，求a+b的值.bx【解析】曲线y=ax2+(a，b为常数)过点P(2,-5),则有4a+=－5,又该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，由y′=2ax－得4a－联立两式得则a+b=－3.bxb22bxb742－，a1,b2,－－2.（2014·江西高考改编）若f(x)=x2+,计算f(x)dx.【解析】设f(x)dx=c，102fxdx101231001011cx2cdx(x2cx)|2c3311c,fxdx.33则，所以即103.（2014·唐山模拟）若函数f(x)=3x－x3+a,≤x≤3的最小值为8，求a的值.【解析】f′(x)=3－3x2，令f′(x)=0，得x=±1，又f(1)=2+a,f(－1)=－2+a.f(－)=a,f(3)=－18+a.所以［f(x)］min=－18+a.由－18+a=8，得a=26.3－3热点考向一导数与积分的几何意义【考情快报】难度:基础题命题指数:★★☆考查方式:1.主要考查求过某点的切线的斜率、方程切点的坐标,或以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值.2.定积分一般考查定积分的直接运算及定积分在几何或物理中的应用【典题1】(1)(2014·江西高考改编)若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,求点P的坐标.(2)(2014·山东高考改编)求直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积.【信息联想】(1)看到切线平行于x轴,想到____________.(2)看到求平面图形的面积,想到___________________________.切线斜率为0转化为求曲边梯形的面积问题【规范解答】(1)设切点为(x0,y0),因为y′=lnx+1,所以切线的斜率为k=lnx0+1,又k=2得x0=e,代入曲线得y0=e.故点P的坐标是(e,e).32324200y4x2(0,0),(2,8),(2,8)yx1S(4xx)dx(2xx)|4.4，（）由得交点为，，所以【规律方法】1.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程:求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.2.已知切线求参数问题利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.3.利用定积分求平面图形的面积的两个关键点关键点一:画出几何图形,结合图形位置,确定积分区间以及被积函数,从而得到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.关键点二:根据图形的特征,选择合适的积分变量,可使计算简捷,在以y为积分变量时,应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式,同时,积分上、下限必须对应y的取值.【变式训练】1.(2014·太原模拟)若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,求a+b的值.【解析】依题意得,f′(x)=-asinx,g′(x)=2x+b,于是有f′(0)=g′(0),即-asin0=2×0+b,b=0;m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1.2.(2014·常德模拟)求由直线y＝x-3，曲线y＝2以及x轴所围图形的面积.【解析】由方程组解得交点(9,6)，故由定积分的几何意义可得所求面积yx3y2x，，3903S2xdx2xx3dx18.＝＋［－－］＝x【加固训练】1.(2014·青岛模拟)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率.【解析】由题意知g′(1)=2,又f′(x)=g′(x)+2x,所以y=f(x)在(1,f(1))处切线的斜率为f′(1)=g′(1)+2=4.2.(2013·江西高考改编)若比较s1,s2,s3的大小关系.【解析】因为2222x1231111sxdx,sdx,sedxx，323311117sx|213333＜；221x2231213slnx|ln2ln1ln21se|ee3,sss.＜；＞所以＜＜热点考向二利用导数研究函数的单调性【考情快报】高频考向多维探究难度:基础、中档题命题指数:★★★考查方式:主要考查函数的单调性与导数的关系,以求解函数的单调区间为主,结合含参数不等式的求解问题,多利用分类讨论的数学思想命题角度一求函数的单调区间【典题2】(2014·海淀模拟)已知函数f(x)=(x-a)sinx+cosx,x∈(0,π).(1)当a=时,求函数f(x)的值域.(2)当a时,求函数f(x)的单调区间.22【现场答案】【纠错析因】找出以上现场答案的错误之处,分析错因,并给出正确答案.提示:以上解题过程的出错之处是第(1)问只是把两个端点值求出就得到值域,出错原因是函数的最值并不一定在端点处取得;第(2)问没有判断x-a的符号,出错原因是没能根据a与π的大小进行分类讨论.【规范解答】（1）当a=时，f(x)=（x-）sinx+cosx,x∈(0,π),f′(x)=（x-）cosx,由f′(x)=0得x=.f(x),f′(x)的情况如下2222x-xx--0+cosx+0-f′(x)-0-f(x)↘↘2(0,)2(,)22因为f(0)=1,f(π)=-1,所以函数f(x)的值域为(-1,1).(2)f′(x)=(x-a)cosx,①当aπ时,f(x),f′(x)的情况如下2所以函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为和(a,π).xa(a,π)x-a--0+cosx+0--f′(x)-0+0-f(x)↘↗↘(0,)2(,)22(,)2(0,)2②当a≥π时,f(x),f′(x)的情况如下xx-a--cosx+0-f′(x)-0+f(x)↘↗(0,)2(,)22所以函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为.(,)2(0,)2命题角度二已知单调性求参数的范围【典题3】(2014·成都模拟)若函数f(x)＝x2＋ax＋在（,+∞）上是增函数，求a的取值范围.1x12【信息联想】看到f(x)在(，+∞)上是增函数，想到____________________________.12f′(x)≥0在(,+∞)上恒成立12【规范解答】f′(x)＝2x＋a－，因为函数在(,+∞)上是增函数，所以f′(x)≥0在(,+∞)上恒成立，即a≥－2x在(,+∞)上恒成立.设g(x)＝－2x，g′(x)＝－－2，令g′(x)＝－－2＝0，得x＝－1，当x∈(,+∞)时，g′(x)0，又g()＝4－1＝3，所以a≥3.21x121221x1221x32x32x1212【互动探究】若函数f(x)＝x2＋ax＋在（，+∞）上存在减区间，求实数a的取值范围.1x12【解析】f′(x)＝2x＋a－，因为函数在(，+∞)上存在减区间，所以f′(x)＜0在(,+∞)上能成立，即a＜－2x在(,+∞)上能成立.设g(x)＝－2x，g′(x)＝－－2，令g′(x)＝－－2＝0，得x＝－1，当x∈(,+∞)时，g′(x)0，又g()＝4－1＝3，所以a＜3.21x121221x1221x32x32x1212【规律方法】1.求函数的单调区间的“两个”方法(1)①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y′=f′(x);③解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;④解不等式f′(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)①确定函数y=f(x)的定义域;②求导数y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;③把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;④确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.2.已知函数y=f(x)在(a,b)的单调性,求参数的范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题求解:即“若函数单调递增,则f′(x)≥0;若函数单调递减,则f′(x)≤0”.【变式训练】1.(2014·张家口模拟)讨论函数f(x)=4ex(x+1)-x2-4x的单调性.【解析】f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2).令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2.从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f′(x)0;当x∈(-2,-ln2)时,f′(x)0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)单调递增,在(-2,-ln2)单调递减.x1(e)2－2.若函数y=a(x3-x)的递减区间为求a的取值范围.【解析】因为y′=a(3x2－1)=所以y′≤0，即a≥0，经检验a=0不合题意，所以a0.33(,)33，333a(x)(x),33－33333x(x)(x)0333333yaxx()33当－时，－，因为函数在，上递减，3.已知函数f(x)=x3