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1第一单元观察物体（三）1、由几个大小相同的小正方体摆成的立体图形，从同一个方向观察，看到的图形可能相同，也有可能不同。2、从同一个方向观察物体最多只能看到三个面。3、从一个角度看到的立体图形的形状，不能确定这个立体图形的唯一形状，也无法确定组成这个立体图形的小正方体的个数；根据两个方向观察到的形状能确定所用小正方体的个数；根据三个方向观察到的形状摆小正方体结果只有一种。◆根据从三个不同方向看到的形状还原立体图形的方法：先从一个方向看到的形状分析，推测可能出现的各种情况；再结合从其他两个方向看到的形状综合分析；最后确定立体图形。第二单元因数和倍数1、因数和倍数（1）因数、倍数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。（2）整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。（3）因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。（4）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。（找因数：成对地按顺序找。）（5）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。（找倍数：依次乘以自然数。）2、2、3、5的倍数特征（1）偶数、奇数：整数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）（也就是个位上是0、2、4、6、8的数），不是2的倍数的数叫做奇数（也就是个位上是1、3、5、7、9的数）。（2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。（3）个位上是0或5的数，是5的倍数。（4）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。（5）同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。3、质数和合数（1）质数（或素数）：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。（2）合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。（3）1：只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。（4）100以内的质数（25个）：22、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97（5）奇偶数的关系：（同类得偶，异类得奇）奇数±偶数＝奇数奇数±奇数＝偶数偶数±偶数＝偶数。◆列举法：数形结合：第三单元长方体和正方体1、长方体和正方体的认识（1）由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。（2）长方体特点：①有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。②一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。（3）由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。（4）正方体特点：①正方体有12条棱，它们的长度都相等。②正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。相同点不同点面棱长方体都有6个面，12条棱，8个顶点。6个面都是长方形。（有可能有两个相对的面是正方形）。相对的棱的长度都相等正方体6个面都是正方形。12条棱都相等。2、长方体和正方体的表面积、体积和容积（1）长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。（2）物体所占空间的大小叫做物体的体积。长方体或正方体底面的面积叫做底面积。常用的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）1立方米＝1000立方分米1立方分数＝1000立方厘米（3）箱子、油桶、仓库等（容器）所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和mL。1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升33、相关计算公式（1）棱长总和：长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4长（宽、高）＝棱长总和÷4－宽－高正方体的棱长总和＝棱长×12正方体的棱长＝棱长总和÷12（2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2正方体的表面积＝棱长×棱长×6（3）长方体的体积＝长×宽×高长＝体积÷宽÷高宽＝体积÷长÷高高＝体积÷长÷宽正方体的体积＝棱长×棱长×棱长V＝a×a×a＝a3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a•a•a）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高4、解决问题（1）无底（或无盖）：长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2无底又无盖：长方体表面积＝（长×高＋宽×高）×2◆油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。（2）分割或拼接物体①用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）②拼接物体时，每拼一处就减少两个面。（表面积相应减少）（3）注意①一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但表面积与体积不一定相等。（反之亦然）②长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍，体积则会扩大倍数的立方倍。（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍，体积就会扩大到原来的8倍）③固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等则通常用容积单位。④长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）（4）形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。排水法的公式：V物体＝V现在－V原来也可以V物体＝S×(h现在-h原来)＝S×h升高第四单元分数的意义和性质1、基本概念（1）单位“1”：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”）（2）分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。4（3）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5。（4）分数与除法：被除数÷除数＝被除数/除数A÷B=A/B（B≠0）（5）真分数和假分数、带分数①真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数1。②假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≥1③带分数：由整数和真分数合成的数叫做带分数。带分数＞1.（6）分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。（7）公因数、最大公因数：几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。（8）公倍数、最小公倍数：几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。◆求最大公因数、最小公倍数的方法：①倍数关系：最大公因数就是较小数，最小公倍数就是较大数。②互质关系：最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。③一般关系：列举法较小数的因数是否是较大数的因数，较大数的倍数是否是较小数的倍数）短除法（公因数乘旁边，公倍数乘一圈）（9）互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。两数互质的特殊情况：①1和任何自然数互质；②相邻两个自然数互质；③两个质数一定互质；④2和所有奇数互质；⑤质数与比它小的合数互质；（10）最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。（11）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。（12）通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。2、假分数与整数、带分数的互化（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子。（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子。（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。（4）1等于任何分子和分母相同的分数。3、分数和小数的互化（1）小数化为分数：一位小数表示十分之几；两位小数表示百分之几……不要忘记约分。（2）分数化为小数：分子除以分母，除不尽的按题目要求保留小数。（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数。4、分数的大小比较（1）分母相同，比分子，分子大的数就大；（2）分子相同，比分母，分母小的分数反而大。（3）分子分母都不相同，①通分后比较；②化成同分子分数比较；③化成小数比较。5第五单元图形的运动（三）1、旋转：（1）在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成的另一点成为对应点。（2）旋转要明确绕点，方向和角度。（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。2、旋转的性质：（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；（5）旋转中心是唯一不动的点。◆旋转的画法：想线勿想点。图形旋转位置变，形状、大小如从前，对应点、线随图转，对应角度永不变。第六单元分数的加法和减法1、同分母分数加、减法：分母不变，只把分子相加减，计算结果，要约成最简分数。2、异分母分数加、减法：分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。3、分数加减混合运算：（1）运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同；（2）可以分步通分；也可以将几个分数一次性通分进行计算。（3）整数加减法的运算定律分数加减法同样适用（标志：同分母）ɑ＋(b－c)＝ɑ＋b－cɑ－（b＋c）＝ɑ－b－cɑ＋b－c＝ɑ－c＋bɑ－b－c＝ɑ－c－b（4）计算过程写重要步骤即可。4、分数的解方程：解题方法与整数、小数方程完全相同，只是运算的数字是分数而已。5、解决问题（喝牛奶问题）：一是纯牛奶的总量不会改变这一特点，每次喝多少即加多少水二是将牛奶与水分开思考与记录（为便于思考，可想象水奶分层）6第七单元折线统计图1、统计图的分类：条形统计图、折线统计图。2、统计图的优点：（条形统计图）：能形象地反映出数量的多少。（折线统计图）：不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的变化趋势。3、读图分析：（1）观察方法：①横向观察，观察横向轴线数据所表达的含义；②纵向观察，观察纵向轴线数据所表达的含义；③比较观察：可以单向对比一条折线图前后的变化，还可以双向比较两条折线图，进行数量间的对比，找出差异。（2）变化趋势分析：起点低而终点高，则数量呈上升趋势；如果数据变化不大，则数据呈平稳趋势；起点高终点低，则数据呈下降趋势。4、画图：一“点”（描点）、二“连”（连线）、三“标”（标数据）。第八单元数学广角——找次品1、策略多样：解题方法不唯一，可多种方案。2、思路方法：（1）通过天平平衡或不平衡，有时一次就能找到次品，但这是偶然情况，不保证一定发生。（2）问题条件较复杂时，可以在图形中把各类数量关系表示出来，更容易看出要求的问题。3、优化策略：把物体分成3份，每份数量尽量平均，可以保证找出次品的称量次数最少。4、找次品规律：至少称量次数12345…规律33×33×3×33×3×3×33×3×3×3×3…最多物品数392781243…5、打电话：人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次×2）打电话要分组，关键要把2来数，几分钟几个2，相乘之积含首数。