圆锥曲线专题(题型小结)

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——主要题型归纳主讲教师:张莉2014-12-24圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一,在高考中一般有1~2个选择题或者填空题,一个解答题.选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用,试题考查的面主要针对圆锥曲线本身,综合性较小,试题的难度一般不大;解答题中主要是以椭圆为基本依托,考查椭圆方程的求解、直线与曲线的位置关系,考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法,这类解答题往往是试卷的压轴题之一.由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识,在高考命题上已经比较成熟,考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定,预计2015年仍然是这种考查方式,不会发生大的变化.备考策略解析几何的知识主线很清晰,就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质,复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法;数学思想方法在解析几何问题中起重要作用,数形结合思想首当其冲,其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归转化思想,如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值,复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用.主考知识点:1、中点坐标公式:1212,y22xxyyx,其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy,的中点坐标。2、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直:则121kk3、一元二次方程根与系数的关系:若一元二次方程20(0)axbxca有两个根12,xx,则1212,bcxxxxaa。4、弦长公式:若点1122(,)(,)AxyBxy,在直线(0)ykxbk上,则1122ykxbykxb,,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx2221212(1)[()4](1)||kxxxxka或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk212122211(1)[()4](1)||yyyykka。直线与圆锥曲线的位置关系1.有关位置关系的问题:例1:已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点,求m的取值范围2.有关弦长的问题:例2:在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(03),,(03),的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程;(Ⅱ)设直线1ykx与C交于A,B两点.k为何值时OAOB?并求AB的值.3.有关中点弦的问题:解题思路:此类问题是利用点差法来转化变形出斜率的式子。例3:以椭圆x216+y24=1内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为()A.4x-y-3=0B.x-4y+3=0C.4x+y-5=0D.x+4y-5=0★变式1:过点P(8,1)的直线与双曲线相交于A,B两点,且P为AB的中点,这样的直线AB是否存在,如果存在,求出直线AB的直线方程,若不存在,请说明理由。1422yx变式2、双曲线中被P(2,1)平分的弦所在的直线方程为A8x-9y-7=0B8x+9y-25=0C4x-9y-6=0D不存在14922yx★4.有关定点、定值、最值的问题:例4:已知,椭圆C以过点A(1,32),两个焦点为(-1,0)(1,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.解题思路:此类问题一般是紧扣目标问题来求解、转化、变形。如需引入参数,也是常用参数来表达目标结构,之后考虑消参。(2)设直线AE的方程为:得:代入13423)1(22yxxky012)23()23(443222kxkkxk)(设),(),,(FFEEyxFyxE,则kkxykkxEEE23,4312)23(22以kkxykkxkkFFF23-,4312)23(-22得:代212)(EFEFEFEFEFxxkxxkxxyyK即直线EF的斜率为定值,其值为21★变式:已知椭圆C22221xyab经过点(0,3),离心率为12e,直线l经过椭圆C的右焦点F且交椭圆于A,B两点。(1)求椭圆方程;(2)若直线l交y轴于点M,且,MAAFMBBF,当直线l的倾斜角变化时,问:的值是否为定值?若是求出的值;若不是,说明理由。归纳梳理:1、2、3、4有关参数的取值范围的问题:例.已知抛物线24yx的焦点F,准线l。(1)求经过点F与直线l相切,且圆心在直线10x上的圆的方程;(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点M,求点M的横坐标的取值范围。解题思路:此类问题一般是紧扣目标问题来求解、转化、变形。根据条件引入参数,也是常用参数来表达目标结构,之后考虑利用常用的求最值方式处理(如函数的性质、导数法、基本不等式等方案)。圆锥曲线的应用题例13:曲线方程的求解1.抓住曲线定义,利用定义求解:例1:已知ABC的三个顶点(5,1),(7,3),(2,8)ABC,求ABC的外接圆的方程。解题策略:充分利用圆的定义,即本质是圆心、半径。而⊿ABC的外接圆圆心在各边中垂线交点上,半径即为圆心到顶点的距离。例2:在平面直角坐标系中,动点A到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,求动点A所形成的曲线方程。解题策略:注意条件的叙述,动点到定点及定直线的距离关系即为抛物线的本质。为此本例可视为动点到定点F(1,0)的距离与它到定直线x=-1的距离相等,即为抛物线,因此易求出方程;另一方面射线y=0(x≤0)也符合。直线与圆的位置关系提醒:关于直线与圆的位置关系的解题,几何法优于代数法,数形结合优于坐标法。例4:过点(-2,0)的直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时,其斜率k的取值范围是()A.(-22,22)B.(-2,2)C.(-24,24)D.(-18,18)解题策略:依据条件作出圆的图形,注意直线过定点(-2,0),运动直线即可发现k的临界取值。2.抓住基本量,利用方程(或方程组)求解:例3:已知椭圆(ab0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.求椭圆C的方程;解题策略:注意椭圆的基本量a,b,c,e之间的关系。例5:若直线l:2x+y+3=0与圆(x-1)2+(y+2)2=5相交于A、B两点,则|AB|=________.解题策略:依据条件作出圆的图形,注意垂径定理。例6:在平面直角坐标系xOy中,曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若圆C与直线x-y+a=0交于A,B两点,且OA⊥OB,求a的值.解题策略:虽说几何法在圆的问题中好用,但并非全能,第(2)问还是应注意代数解法,即圆锥曲线中的通解通法。变式:过点P(2,1)的直线与双曲线相交于A,B两点,且P为AB的中点,这样的直线AB是否存在,如果存在,求出直线AB的直线方程,若不存在,请说明理由。4422yx

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