圆锥曲线专题(题型小结)

——主要题型归纳主讲教师：张莉2014-12-24圆锥曲线与方程是高考考查的核心内容之一，在高考中一般有1～2个选择题或者填空题，一个解答题．选择题或者填空题在于有针对性地考查椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质及其应用，试题考查的面主要针对圆锥曲线本身，综合性较小，试题的难度一般不大；解答题中主要是以椭圆为基本依托，考查椭圆方程的求解、直线与曲线的位置关系，考查数形结合思想、函数与方程思想、等价转化思想、分类与整合思想等数学思想方法，这类解答题往往是试卷的压轴题之一．由于圆锥曲线与方程是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2015年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．备考策略解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起重要作用，数形结合思想首当其冲，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值，复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．主考知识点：1、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。2、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程20(0)axbxca有两个根12,xx，则1212,bcxxxxaa。4、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx2221212(1)[()4](1)||kxxxxka或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk212122211(1)[()4](1)||yyyykka。直线与圆锥曲线的位置关系1.有关位置关系的问题：例1:已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围2.有关弦长的问题：例2:在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(03)，，(03)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线1ykx与C交于A，B两点．k为何值时OAOB？并求AB的值.3.有关中点弦的问题：解题思路：此类问题是利用点差法来转化变形出斜率的式子。例3:以椭圆x216＋y24＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为（）A．4x－y－3＝0B．x－4y＋3＝0C．4x＋y－5＝0D．x＋4y－5＝0★变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方程，若不存在，请说明理由。1422yx变式2、双曲线中被P(2，1)平分的弦所在的直线方程为A8x-9y-7=0B8x+9y-25=0C4x-9y-6=0D不存在14922yx★4.有关定点、定值、最值的问题：例4:已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．解题思路：此类问题一般是紧扣目标问题来求解、转化、变形。如需引入参数，也是常用参数来表达目标结构，之后考虑消参。（2）设直线AE的方程为：得：代入13423)1(22yxxky012)23()23(443222kxkkxk）（设),(),,(FFEEyxFyxE,则kkxykkxEEE23,4312)23(22以kkxykkxkkFFF23-,4312)23(-22得：代212)(EFEFEFEFEFxxkxxkxxyyK即直线EF的斜率为定值，其值为21★变式：已知椭圆C22221xyab经过点(0,3)，离心率为12e，直线l经过椭圆C的右焦点F且交椭圆于A，B两点。（1）求椭圆方程；（2）若直线l交y轴于点M，且,MAAFMBBF，当直线l的倾斜角变化时，问：的值是否为定值？若是求出的值；若不是，说明理由。归纳梳理：1、2、3、4有关参数的取值范围的问题：例.已知抛物线24yx的焦点F,准线l。（1）求经过点F与直线l相切，且圆心在直线10x上的圆的方程；（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M，求点M的横坐标的取值范围。解题思路：此类问题一般是紧扣目标问题来求解、转化、变形。根据条件引入参数，也是常用参数来表达目标结构，之后考虑利用常用的求最值方式处理（如函数的性质、导数法、基本不等式等方案）。圆锥曲线的应用题例13:曲线方程的求解1.抓住曲线定义，利用定义求解：例1:已知ABC的三个顶点(5,1),(7,3),(2,8)ABC，求ABC的外接圆的方程。解题策略：充分利用圆的定义，即本质是圆心、半径。而⊿ABC的外接圆圆心在各边中垂线交点上，半径即为圆心到顶点的距离。例2:在平面直角坐标系中，动点A到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1，求动点A所形成的曲线方程。解题策略：注意条件的叙述，动点到定点及定直线的距离关系即为抛物线的本质。为此本例可视为动点到定点F（1，0）的距离与它到定直线x=-1的距离相等，即为抛物线，因此易求出方程；另一方面射线y=0（x≤0）也符合。直线与圆的位置关系提醒：关于直线与圆的位置关系的解题，几何法优于代数法，数形结合优于坐标法。例4:过点(－2,0)的直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是()A．(－22，22)B．(－2，2)C．(－24，24)D．(－18，18)解题策略：依据条件作出圆的图形，注意直线过定点（-2，0），运动直线即可发现k的临界取值。2.抓住基本量，利用方程（或方程组）求解：例3:已知椭圆(ab0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2,抛物线y2=4x的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.求椭圆C的方程;解题策略：注意椭圆的基本量a,b,c,e之间的关系。例5：若直线l：2x＋y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5相交于A、B两点，则|AB|＝________.解题策略：依据条件作出圆的图形，注意垂径定理。例6：在平面直角坐标系xOy中，曲线261yxx与坐标轴的交点都在圆C上．(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解题策略：虽说几何法在圆的问题中好用，但并非全能，第（2）问还是应注意代数解法，即圆锥曲线中的通解通法。变式：过点P（2,1）的直线与双曲线相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方程，若不存在，请说明理由。4422yx