圆锥曲线定点问题

圆锥曲线中的定点问题明对任意情况都成立找到定点，再证方法三：通过特殊位置的值求出方法二：通过计算可以）则直线过（例如的关系与方法一：找到设直线为基本思想：.,022,bkbbkbkxy【例1－1】已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F(1，0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－12，求证：直线AB过x轴上一定点.(1)解因为抛物线y2＝2px(p0)的焦点坐标为(1，0)，所以p2＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明①当直线AB的斜率不存在时，设At24，t，Bt24，－t.因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以tt24·－tt24＝－12，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得y2＝4x，y＝kx＋b，化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝4bk，因为直线OA，OB的斜率之积为－12，所以yAxA·yBxB＝－12，即xAxB＋2yAyB＝0.即y2A4·y2B4＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝4bk＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8).综上所述，直线AB过定点(8，0).练习：如图，已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切.(1)求椭圆C的方程；(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且AP→·AQ→＝0，求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.方法一(2)证明由AP→·AQ→＝0，知AP⊥AQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0，1)可设直线AP的方程为y＝kx＋1，直线AQ的方程为y＝－1kx＋1(k≠0)，将y＝kx＋1代入椭圆C的方程x23＋y2＝1并整理得：(1＋3k2)x2＋6kx＝0，解得x＝0或x＝－6k1＋3k2，因此P的坐标为－6k1＋3k2，－6k21＋3k2＋1，即－6k1＋3k2，1－3k21＋3k2.将上式中的k换成－1k，得Q6kk2＋3，k2－3k2＋3.∴直线l的方程为y＝k2－3k2＋3－1－3k21＋3k26kk2＋3＋6k1＋3k2x－6kk2＋3＋k2－3k2＋3，化简得直线l的方程为y＝k2－14kx－12.因此直线l过定点N0，－12.6.已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率e＝12，点A为椭圆上一点，∠F1AF2＝60°，且S△F1AF2＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.问：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过定点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由e＝12可得a2＝4c2，①S△F1AF2＝12|AF1||AF2|sin60°＝3，可得|AF1||AF2|＝4，在△F1AF2中，由余弦定理可得|F1A|2＋|F2A|2－2|F1A|·|F2A|cos60°＝4c2，又|AF1|＋|AF2|＝2a，可得a2－c2＝3，②联立①②得a2＝4，c2＝1.∴b2＝3，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设点P(x0，y0)，由y＝kx＋m，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由题意知Δ＝64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0，∴x0＝－4km4k2＋3＝－4km，y0＝3m，∴P－4km，3m.由y＝kx＋m，x＝4得Q(4，4k＋m)，假设存在点M，坐标为(x1，0)，则MP→＝－4km－x1，3m，MQ→＝(4－x1，4k＋m).∵以PQ为直径的圆恒过M点，∴MP→·MQ→＝0，即－16km＋4kx1m－4x1＋x21＋12km＋3＝0，∴(4x1－4)km＋x21－4x1＋3＝0对任意k，m都成立.则4x1－4＝0，x21－4x1＋3＝0，解得x1＝1，故存在定点M(1，0)符合题意.定点问题的常见解法：(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.练习：已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．[解](1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42，又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，其中Δ＝－32kb＋640.由韦达定理得，x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2，②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P是直线x＝1上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N.求证：直线MN经过一定点．【例1】(13分)(2015·石家庄模拟)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.(1)解依题意得e＝ca＝32，(2分)过右焦点F与长轴垂直的直线x＝c与椭圆x2a2＋y2b2＝1，联立解得弦长为2b2a＝1，∴a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(4分)(2)证明设P(1，t)，kPA＝t－01＋2＝t3，直线lPA：y＝t3(x＋2)，(6分)联立得y＝t3（x＋2），x24＋y2＝1，即(4t2＋9)x2＋16t2x＋16t2－36＝0，(8分)可知－2xM＝16t2－364t2＋9，所以xM＝18－8t24t2＋9，则xM＝18－8t24t2＋9，yM＝12t4t2＋9.同理得到xN＝8t2－24t2＋1，yN＝4t4t2＋1.(10分)由椭圆的对称性可知这样的定点在x轴上，不妨设这个定点为Q(m，0)，构建模板解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所要探求的定点、定值．第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论．第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．又kMQ＝12t4t2＋918－8t24t2＋9－m，kNQ＝4t4t2＋18t2－24t2＋1－m，kMQ＝kNQ，所以化简得(8m－32)t2－6m＋24＝0，令8m－32＝0，－6m＋24＝0，得m＝4，即直线MN经过定点(4，0)．(13分)