初一几何证明典型例题

戴氏教育达州西外校区名校冲刺戴氏教育温馨提醒：暑假两个月是学习的最好时机，可以在两个月里，复习旧知识，学习新知识，承上，还能启下。在这个炎热的假期，祝你学习轻松愉快。初一典型几何证明题1、已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22、已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF和EF∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴△BCF≌△ABCDEF21ADBC∴BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在△BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF。∵∠ABC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在△ABF和△AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴△ABF≌△AEF。∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC过C作CG∥EF交AD的延长线于点GCG∥EF，可得，∠EFD＝CGDDE＝DC∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC4、已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CBACDF21EA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C5、已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE6、如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB//CD∴∠A+∠D=180o∵∠BFE+∠CFE=180o∴∠D=∠CFE又∵∠DCE=∠FCECE平分∠BCDCE=CE∴⊿DCE≌⊿FCE（AAS）∴CD=CF∴BC=BF+CF=AB+CD7.P是∠BAC平分线AD上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB在AC上取点E，使AE＝AB。∵AE＝ABAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。8.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE证明：在AC上取一点D，使得角DBC=角C∵∠ABC=3∠C∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C；∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=ADPDACB∴AC–AB=AC-AD=CD=BD在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD∵BE⊥AE∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD∴点E也是BD的中点∴BD=2BE∵BD=CD=AC-AB∴AC-AB=2BE9.如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．解：延长AD至BC于点E,∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形∴∠DBC=∠DCB又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形∴AB=AC在△ABD和△ACD中AB=AC∠1=∠2BD=DC∴△ABD和△ACD是全等三角形（边角边）∴∠BAD=∠CAD∴AE是△ABC的中垂线∴AE⊥BC∴AD⊥BC10.如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．求证：∠OAB=∠OBA证明：∵OM平分∠POQ∴∠POM＝∠QOM∵MA⊥OP，MB⊥OQ∴∠MAO＝∠MBO＝90∵OM＝OM∴△AOM≌△BOM（AAS）∴OA＝OB∵ON＝ON∴△AON≌△BON（SAS）∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB∵∠ONA+∠ONB＝180∴∠ONA＝∠ONB＝90∴OM⊥AB11.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．证明：在AB上取F，使AF＝AD，连接EF∵AE平分∠DAB∴∠DAE=∠FAE在⊿ADE和⊿AFE中AD＝AF∠DAE=∠FAEAE=AE∴⊿ADE≌⊿AFE（SAS）∴∠ADE=∠AFE∵AB//CD∴∠ADE+∠C=180o∵∠AFE+∠BFE=180o∴∠C=∠BFE∵BE平分∠ABC∠CBE=∠FBE在⊿BFE和⊿BCE中∠C=∠BFE∠CBE=∠FBECE=CE∴⊿BFE≌⊿BCE（AAS）∴CB=BF∴AB=AF+FB=AD+BC12.如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MFPEDCBA（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．(1)证：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）∴DE=BF．在△DEM和△BFM中∠DEM=∠BFM∠DME=∠BMFDE=BF∴△DEM≌△BFM(AAS)∴MB=MD，ME=MF(2)证：∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）∴DE=BF．在△DEM和△BFM中∠DEM=∠BFM∠DME=∠BMFDE=BF∴△DEM≌△BFM(AAS)∴MB=MD，ME=MF13如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．证：∵∠CEB=∠CAB=90°FEDCBA∠ADB=∠CDE在△ABD中，∠ABD=180°-∠CAB-∠ADB在△CED中，∠DCE=180°-∠CEB-∠CDE∴∠ABD=∠DCE在△ABD和△ACF中∠DAB=∠CAFAB=AC∠ABD=∠DCF∴△ABD≌△ACF(ASA)∴BD=CF∵BD是∠ABC的平分线∴∠FBE=∠CBE在△FBE和△CBE中∠FBE=∠CBEBE=BE∠BEF=∠BEC∴△FBE≌△CBE(ASA)∴CE=FECF=2CE∴BD=2CE14.如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF∴△AED≌△BFC（SAS）15.如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。求证：AM是△ABC的中线。证明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中线16.AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证：在△ABD与△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF与△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD(SAS)∴BF=FC17.如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。证：∵CF=CE+EFEB=EF+FB又∵CE=FB∴CF=EB在△CDF与△ABE中AB=CDAE=DFBE=CF∴△CDF≌△ABE(SSS)∴∠DCB=∠ABF在△ABF与△CDE中AB=CD∠ABF=∠DCEBF=CE∴△ABF≌△CDE(SAS)∴AF=ED18.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：连接EF∵AB∥CD∴∠B=∠C∵M是BC中点∴BM=CM在△BEM和△CFM中BE=CF∠B=∠C∴△BEM≌△CFM（SAS）∴CF=BEBM=CM19.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF。证：连接AC∵在△ADC和△ABC中AD=ABDC=BCAC=AC∴△ADC≌△ABC（SSS）∴∠B=∠D∵E、F分别是DC、BC的中点又∵BC＝DC∴DE=BF∵在△ADE和△ABF中AD=AB∠D=∠BDE=BF∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF20.如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证:∠5=∠6．证明：∵在△ADC和△ABC中∠BAC=∠DACDBCcAFE∠BCA=∠DCAAC=AC∴△ADC≌△ABC（AAS）∵AB=AD，BC=CD在△DEC与△BEC中CE=CE∠BCA=∠DCA∴△DEC≌△BEC（SAS）∴∠DEC=∠BECBC=CD21.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF．证明：∵AD是∠BAC的平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED与∠AFD=90°在△AED与△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF22.如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明：∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．23.在△ABC中，90ACB，BCAC，直线MN经过点C，且MNAD于D，MNBE于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC≌CEB；②BEADDE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．AEBDCF∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE24.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC