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版权所有，翻版必究第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。计算X。解：S=1000s20¬p7%+Xs10¬p7%X=50000−1000s20¬p7%s10¬p7%=651.722．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解：设首次付款为X，则有10000=X+250a48¬p1.5%解得X=1489.363．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1。试计算该年金的现值。解：PV=na¬npi1−vnn=n1n=(n+1)nn2−nn+2(n+1)n4．已知：a¬np=X，a2¬np=Y。试用X和Y表示d。解：a2¬np=a¬np+a¬np(1−d)n则Y−X1d=1−(X)n5．已知：a¬7p=5.58238,a11¬p=7.88687,a18¬p=10.82760。计算i。解：a18¬p=a¬7p+a11¬pv7解得6.证明：11−v10=s10¬p+a∞¬p。s10¬pi=6.0%北京大学数学科学学院金融数学系第1页版权所有，翻版必究证明：s10¬p+a∞¬p(1+i)10−1+11s10¬p=i(1+i)10−1ii=1−v107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：PV=100a¬8p3%+100a20¬p3%=2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解：设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日1000¨25¬p8%=X¨15¬p7%解得9．已知贴现率为10%，计算¨¬8p。X=8101.65解：d=10%，则i=110.求证：(1)¨¬np=a¬np+1−vn；1−d−1=19¨¬8p=(1+i)1−v8i=5.6953(2)¨¬np=s¬−np1+(1+i)n并给出两等式的实际解释。证明：(1)¨¬np=1−dvn=1−ivn=1−vni+1−vn所以(2)¨¬np=(1+i)n−11+i¨¬np=a¬np+1−vn(1+i)n−1=(1+i)n−1n−1d=i1+ii+(1+i)所以¨¬np=s¬−np1+(1+i)n版权所有，翻版必究12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV=100a49¬p1.5%−100a¬2p1.5%=3256.88AV=100s49¬p1.5%−100s¬2p1.5%=6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B。年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为Y，在第11－20年中没有。已知：v10=1，计算Y。解：因两种年金价值相等，则有2a30¬pi+a10¬piv10=Ya30¬−piYa10¬piv10所以Y=3−v10−2v301+v10−2v30=1.814.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。计算i。解：由题意知，2a2¬npi+3a¬npi=362a¬npivn=6解得a¬7pa¬3p+sX¬pi=8.33%15.已知a11¬p=aY¬p+sZ¬p。求X，Y和Z。解：由题意得解得1−v71−v11=(1+i)X−v3(1+i)Z−vY16.化简a15¬p(1+v15+v30)。解：X=4,Y=7,Z=4a15¬p(1+v15+v30)=a45¬p北京大学数学科学学院金融数学系第3页版权所有，翻版必究17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解：年金在4月1日的价值为P=1+4.5%4.5%×2000=46444.44，则PV=P(1+i)2+23=41300.65718.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。解：设递延时间为t，有1解得t=−ln(1+lniPi)P=ivt19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额X，直至永远。计算X。解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有X1000¨20¬pi=iv29解得X=1000((1+i)30−(1+i)10)20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前n年，A、B和C三人平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算(1+i)n。解：设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值为i3a¬npi，而D得到遗产的现值为vn。由题意得所以1−vn3(1+i)n=4=vn21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。版权所有，翻版必究解：由题意知那么PVCPVAPVB==a¬npv2na¬npa¬npvn13n=0.49=0.61PVDiv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。100a¬np4.5%v41000解：100an+1¬p4.5%v41000解得n=17列价值方程解得100a16¬p4.5%+Xv21=1000X=146.0723.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。解：两年金现值相等，则4×a36¬pi=5×18，可知v18=0.25由题意，(1+i)n=2解得n=924.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。解：由题意可得方程100a60¬p1%=6000(1+i)−k解得25.已知a¬2pi=1.75，求i。解：由题意得解得k=291−v2=1.75ii=9.38%26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：版权所有，翻版必究27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出K元，且第十年底的余额为一万元，计算K。解：由题意可得价值方程10000=105Ka¬2p4%v3+Ka¬2p4%+10000v10则K=10000−10000v10105a¬2p4%v3+a¬2p4%v5=979.9428.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为i，后面的利率为j。计算首次付款金额X的表达式。解：选取第一次还款日为比较日，有价值方程1P(1+i)2=X+2Xa¬4pi+2Xa¬5pj(1+i)−4所以P(1+i)12X=1+2a¬4pi+2a¬5pj(1+i)−429.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解：PV=4×400+4×600v5=11466.1431.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解：PV=1s¬4pia24¬piv3=(1+i)24−1(1+i)27[(1+i)4−1]=a28¬−pa¬4ps¬3p+s¬1p北京大学数学科学学院金融数学系第6页版权所有，翻版必究33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。解：设年实利率为i，则(1+2%)2=1+i。有题意得750i+750s20¬pii=Ra30¬pi解得R=1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解：由题意知解得i=20%1is¬3pi=1259135.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年金，计算R。解：由题意得解得R=1.9520=1d=Ra¬2pii36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。(2)解：设贴现率为d，则1+i2=1(1−d)12设递延时间为t，由题意得10000=2×500vt¨(2)∞¬p1解得t=ln20+ln(1−(1−d)2)ln(1−d)37.计算：3a¬(2)np=2a(2)2¬np=45s¬(2)1p，计算i。解：ii3×a¬npi=2×a¬npi=45×is¬1pi解得：vn=1,i=1i(2)。i2i2230北京大学数学科学学院金融数学系第7页版权所有，翻版必究38.已知i(4)=16%。计算以下期初年金的现值：现在开始每4个月付款1元，共12年。（问题）解：39.已知：δt=1+1t。求¯¬np的表达式。解：¯¬np=∫n0e−R0tδsdsdt=ln(1+n)40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解：第一种年金的现值为∫10vtdt=1−e−δδ第二种年金的现值为e−δt，则所以t=1+1δlnδi1−e−δδ=e−δt41.已知：δ=0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解：设季度实利率为i。因a(t)=eδt，则e14δ=(1+i)所以1−v80PV=100¨80¬pi=100(1+i)i=4030.5342.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解：设年实利率为i，则i=eδ−1设基金可维持t年，由两现值相等得40000=2400a¬tpi解得t=28北京大学数学科学学院金融数学系第8页版权所有，翻版必究43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，...。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解：由题意：1113(1+i)6=(1+i)7⇒i=112PV=v+3v2+···+(2n−1)vn+···=v[1+PV+2(v+v2+···)]=v(1+PV+2v解得:PV=661−v)44.给出现值表达式Aa¬np+B(Da)n|所代表的年金序列。用这种表达式给出如下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解：年金序列：A+nB,A+(n−1)B,...,A+2B,A+B所求为25a25¬p+3(Da)25|45.某期末年金（半年一次）为：800,750,700,...,350。已知半年结算名利率为16％。若记：A=a10¬p8%，试用A表示这个年金的现值。解：考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：2×(10−A)300a10¬p8%+500(Da)10|8%=300A+i(2)=6250−325A46.年利率8％的十年储蓄：前5年每年初存入1000元，然后每年递增5％。计算第十年底的余额。解：由题意：AV=1000s¬5p8%(1+8%)6+(1000×1.05×1.085+1000×1.052×1.084+···+1000×1.055×1.08)=1000(1+8%)5−