高中数学必修五第二章数列-复习课件

数列通项an等差数列前n项和Sn等比数列定义通项前n项和性质)2()1(11nSSnSannn知识结构等差数列等比数列定义通项公式中项公式前n项和公式an+1-an=d(常数),n∈N*an+1/an=q(常数),n∈N*an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(a1,q≠0)若a，A，b成等差数列，则A=(a+b)/2等差、等比数列的有关概念和公式若a，G，b成等比数列，则G2=ab（a,b≠0）11()2(1)2nnnaaSnnnad111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq判断（或证明）数列为等差数列的方法：方法一（定义法）an+1－an=d或an－an－1=d(n≥2)方法二(等差中项法)an+1+an－1=2an(n≥2)1、等差数列：11()(1)22nnnaannSnad2、等比数列：111(1)(1)(1)11nnnnaqSaaqaqqqq等差数列与等比数列前n项和注意公式的变形应用如：等差数列的前n项和公式：2)(2)(2)(1121mnmnnnaanaanaanSbnanndanddnnnaSn2121)2(22)1(等比数列的前n项和公式：qqaaqqaaqqaaqqaSmnmnnnn1111)1(1121111)1(q（1）nmaanmd（2）若2mnpqk则2mnpqkaaaaanmaadnmdkd2（3）若数列是等差数列，则也是等差数列}{na,,,,34232kkkkkkkSSSSSSS（4）{an}等差数列，其项数成等差数列，则相应的项构成等差数列等差数列的重要性质（2）2,mnpqk若mnpqaaaa则（1）nmnmaaqmnmnaaqq求（3）若数列是等比数列，则也是等比数列}{na,,,,34232kkkkkkkSSSSSSSkqq（4）{an}等比数列，若其项数成等差数列，则相应的项构成等比数列等比数列的重要性质牛刀小试•⒈在等差数列{an}中，a2=-2,a5=54，求a8=_____.•⒉在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8的值为_________.•⒊在等差数列{an}中，a15=10,a45=90,则a60=__________.••⒋在等差数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.110运用性质：an=am+(n-m)d或等差中项运用性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq运用性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)运用性质：若{an}是公差为d的等差数列{cn}是公差为d′的等差数列，则数列{an+cn}是公差为d+d′的等差数列。180130210kk•⒈在等比数列{an}中，a2=-2,a5=54，a8=.•⒉在等比数列{an}中，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_.•⒊在等比数列{an}中，a15=10,a45=90,则a60=__________.•⒋在等比数列{an}中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_____.-14586270480或-270牛刀小试练习：两个等差数列{na}、{nb}的前n项之和分别为,,/nnSS且7253/nnSSnn，则_______1515ba。解:2)(,2)(1/1nnnnbbnSaanS∴nnbbaa117253nn令,29n则有：6582291291bbaa而1515291291babbaa∴1515ba6582常见的求和公式123(1)2nnSnn专题一：一般数列求和法①倒序相加法求和，如an=3n+1②错项相减法求和，如an=(2n-1)2n③分组法求和，如an=2n+3n④裂项相加法求和，如an=1/n(n+1)⑤公式法求和，如an=2n+1专题一：一般数列求和法一、倒序相加法解：例1:()(1)1,1231999()()()...().2000200020002000fxfxffff已知求的值12100019981999()()()()()2000200020002000200019991998100021()()()()()200020002000200020001199921998()()()()200020002000200019991()(2000200SfffffSfffffSSffffff)01199919992S二、错位相减法23,3,5(21)(0)naaanaan例2、求数列，的前项和2335(21)nnSaaana①解：1,a当时132)12()...(2)1(nnnanaaaaSa2112(1)(1)(21)1nnnaaaSanaaaanaaaaSnnn1)12()1(212122125311nnSan时，当234135...(23)(21)nnnaSaaanana②22112(1)2(21)(1)(1)1nnnnaSaaanaaaa“错位相减法”求和,常应用于形如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{bn}的公比为q，则可借助转化为等比数列的求和问题。nnSqS233411222nnnS练习:求和233411(1)23411222113411222222332nnnnnnnnnannSnSnS解①②三、分组求和2{}1,{}nnnaannan例3、已知数列的通项公式为求数列的前项和21nann解：2222(111)(221)(331)(1)nSnn2222(123)(123)1nnn(1)(21)(1)62nnnnnn2(1)(2)(31)33nnnnnnn把数列的每一项分成几项，或把数列的项“集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.练习：求和2222222212345699100S22222222(21)(43)(65)(10099)S解：(21)(21)(43)(43)(10099)(10099)371119950(3199)50502四、裂项相消求和法1111335(21)(21)nSnn例4.求和111:()22121111111(1)2335212111(1)22121nnannSnnnnn解常用列项技巧：111(1)(1)nnnn1111()knnkn(n+k)1111212122121nnnn11()nknknkn把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.)2(33,3111naaaannn①累加法，如②累乘法，如③构造新数列：如④取倒数：如⑤Sn和an的关系：)(1nfaann)(1nfaann1nnaab专题二：通项的求法332nnSa如1:()(())nnfnaafn为类型一可求和数列用迭加法116,21(2,*),________.nnnaaannnNa例1、已知且满足则通项公式11213212121(2,*)22123121(2,*)nnnnnnaanaannnNaaaaaannnN解:12213521(1)1(2,*)5(2,*)nnnaannnnnNannnN以上式相加得项的等差数列2121565(*)nnnaannN又当时1:()(())nnagnagn为可类型二求积数列用迭乘法112{}2,1,nnnnnaaaaa例、已知数列满足且求112313241231:222,2,2,2nnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa解1131:3,,________326:.31nnnnnaaaankeyan练习已知则通项公式2313241231(1)12312(1)211222222(2)2(2)nnnnnnnnnnaaaaaaaanana以上式相乘得(1)212nnnaa经验证符合10,1,:)0(nnpaqpapq类型三线性递推式1131,31(2)..nnnaaana例、已知求1113()32131212nnnnnnaaaaaa解：设与对比得111111123()31222113{}3222133132222nnnnnnnnnaaaaaaqaa为等比数列首项为公比11{}11()1nnnnnqapqpapaapaqqp可构造等比数列其中也可用待定系数法确定,设展开与对比可得1:(0)1{}nnnnaapqappa类型四递推关系为两边同时取倒数可构造等差数列1143,,.21nnnnaaaaa例、已知求1112111:221112nnnnnnnnnaaaaaaaaa解1111{}2311652(1)33365nnndaannaan为首项公差的等差数列1:{}nnnnnnapqaqaqq类型五递推关系为两边同除可构造等差数列1111112221221221{}1222111(1)()22222nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaadannan解：两边同除得是首项为公差的等差数列11{}1,22(2),.nnnnnaaaana例5、已知数列满足求11(1):(2)nnnnnSnSaaSSn类型六利用与的关系求通项数列的前n项和Sn＝n2–n+1，则通项an=__________．11222nnn32,.nnnnanSanS例:已知在数列{}中,前项和求前项和公式111111111222121212132,32(),230(2),230,2(),1323.2323,6,6,62.3323(1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSaSSSSSnSSSSSSSSnSaSnSaaaaSSaSSS解:即则数列{}是以2为公比的等比数列，而时,时,12).33(12).nnnSS适合公式,12{}1,2(2).211(1):{}.(2){}.nnnnnnnnaanSaSanSaS练习1:已知数列满足其前项和与之间满足求证数列为等差数列求数列的通项公式212112(1):(2),(2),21211,2(2),211{}nnnnnnnnnnnnnSaSSnanSSSSnSSSS