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二、重难专题突破专题九新定义问题(必考)类型一新定义点与函数问题(8年4考：2017.29、2015.29、2014.25、2013.25)1.(2019房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.(1)当⊙O的半径r＝2时，在点D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)中，为⊙O的关联整点的是；(2)若直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；(3)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线y＝－x＋4上存在⊙C的关联整点.求圆心C的横坐标t的取值范围.第1题图2.(2019丰台区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得点P在射线BC上，且∠APB＝14∠ACB(0°∠ACB180°)，则称P为⊙C的依附点.(1)当⊙O的半径为1时，①已知点D(－1，0)，E(0，－2)，F(2.5，0)，在点D，E，F中，⊙O的依附点是；②点T在直线y＝－x上，若T为⊙O的依附点，求点T的横坐标t的取值范围；(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点M，N.若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点，直接写出圆心C的横坐标m的取值范围.3.(2019西城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N(M，N可以重合)使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点.第3题图①(1)如图①，已知点A(0，3)，B(2，3).①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是，最大值是；②在P1(32，0)，P2(1，4)，P3(－3，0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是；(2)如图②，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为(5，0).若点E(x，2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图③，已知点H(－3，0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x轴的正半轴于点K.点C(a，b)(其中b≥0)是坐标平面内一个动点，且OC＝5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆.若HK︵上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围.第3题图②第3题图③4.(2019朝阳区二模)M(－1，－12)，N(1，－12)是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点.(1)在点A1(0，12)，A2(12，0)，A3(0，2)，A4(2，2)中，线段MN的可视点为；(2)若点B是直线y＝x＋12上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；(3)直线y＝x＋b(b≠0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围.第4题图类型二新定义距离与函数问题(8年2考：2018.28、2012.25)1.(2012北京)在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图①中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).第1题图①(1)已知点A(－12，0)，B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)已知C是直线y＝34x＋3上的一个动点，①如图②，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图③，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标.第1题图2.(2019东城区一模)在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”.下图中的P，Q两点即为“等距点”.第2题图(1)已知点A的坐标为(－3，1)，①在点E(0，3)，F(3，－3)，G(2，－5)中，为点A的“等距点”的是；②若点B在直线y＝x＋6上，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；(2)直线l：y＝kx－3(k＞0)与x轴交于点C，与y轴交于点D，①若T1(－1，t1)，T2(4，t2)是直线l上的两点，且T1与T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M，N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围.备用图3.(2018北京)对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N).已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2).(1)求d(点O，△ABC)；(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围.4.(2019石景山一模)在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点分别为A(0，1)，B(－1，0)，C(0，－1)，D(1，0).对于图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为正方形ABCD边上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形M的“正方距”，记作d(M).(1)已知点E(0，4)，①直接写出d(点E)的值；②直线y＝kx＋4(k≠0)与x轴交于点F，当d(线段EF)取最小值时，求k的取值范围；(2)⊙T的圆心为T(t，3)，半径为1，若d(⊙T)＜6，直接写出t的取值范围.类型三新定义图形与函数问题(仅2016.29考查)1.(2019石景山区二模)对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h＝PQ，则称该三角形为点P，Q的“生成三角形”.(1)已知点A(4，0).①若以线段OA为底的某等腰三角形恰好是点O，A的“生成三角形”，求该三角形的腰长；②若Rt△ABC是点A，B的“生成三角形”，且点B在x轴上，点C在直线y＝2x－5上，则点B的坐标为；(2)⊙T的圆心为点T(2，0)，半径为2，点M的坐标为(2，6)，N为直线y＝x＋4上一点，若存在Rt△MND，是点M，N的“生成三角形”，且边ND与⊙T有公共点，直接写出点N的横坐标xN的取值范围.2.(2018平谷区一模)在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.(1)已知点A(2，0)，B(0，23)，则以AB为边“坐标菱形”的最小内角为°；(2)若点C(1，2)，点D在直线y＝5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD表达式；(3)⊙O的半径为2，点P的坐标为(3，m).若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围.图①图②第2题图类型四新定义几何问题(2019.28新考查)1.(2019北京)在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE︵上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE︵为△ABC的中内弧.例如，如图①中DE︵是△ABC的一条中内弧.第1题图①第1题图②(1)如图②，在Rt△ABC中，AB＝AC＝22，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧DE︵，并直接写出此时DE︵的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t0).在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.①若t＝12，求△ABC的中内弧DE︵所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△ABC中存在一条中内弧DE︵，使得DE︵所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围.2.P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA·PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”.第2题图(1)⊙O的半径为6，OP＝4.①如图，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙O的“幂值”的取值范围；(2)若⊙O的半径为r，OP＝d，请参考(1)的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围；(3)在平面直角坐标系xOy中，C(1，0)，⊙C的半径为3，已知点M(t，0)，N(0，－t)，若在直线MN上存在点P，使得点P关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出t的取值范围.参考答案类型一新定义点与函数问题1.解：(1)E，F；【解法提示】∵D(2，－2)，E(－1，0)，F(0，2)，O(0，0)，∴OD＝22＋22＝22＞2，OE＝1＜2，OF＝2，∴E，F为⊙O的关联整点；(2)如解图①，当⊙O与直线y＝－x＋4相切时，切点为G(2，2)，则r＝OG＝22＋22＝22.当⊙O过点Q(－2，6)时，则r＝OQ＝22＋62＝210，结合图象，当直线y＝－x＋4上存在⊙O的关联整点，且不超过7个时，r的取值范围为22≤r＜210；第1题解图①(3)如解图②，当⊙C过点M(3，1)时，CM＝2，ME＝1，则CE＝3，此时点C的横坐标t＝3－3，当⊙C′过点N(5，－1)时，则FC′＝3，此时点C′的横坐标t＝5＋3，结合函数图象，圆心C的横坐标t的取值范围为3－3≤t≤5＋3.第1题解图②2.解：(1)①E、F；【解法提示】如解图①，根据P为⊙O的依附点，可知：当r＜OP＜3r(r为⊙O的半径)时，点P为⊙O的依附点．第2题解图①∵D(－1，0)，E(0，－2)，F(2.5，0)，∴OD＝1，OE＝2，OF＝2.5，∴1＜OE＜3，1＜OF＜3，∴点E，F是⊙O的依附点，故答案为：E、F；②如解图②，第2题解图②当点T在第四象限，OT′＝1时，作T′N⊥x轴于点N，易知N(22，0)，OT＝3时，作TM⊥x轴于点M，易知M(322，0)，∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围为22＜t＜322.当点T在第二象限时，同理可得满足条件的t的取值范围为－322＜t＜－22，综上所述，满足条件的t的值的范围为22＜t＜322或－322＜t＜－22.(2)4＜m＜42或－4＜m＜2－22.【解法提示】如解图③，当点C在点M的右侧时，第2题解图③由题意M(2，0)，N(0，2)，当CN＝6时，OC＝CN2－ON2＝42，此时C(42，0)，当CM＝2时，此时C(4，0)，∴满足条件的m的值的范围为4＜m＜42.如解图④，当点C在点M的左侧时，第2题解图④当⊙C与直线MN相切时，易知C′(2－22，0)，当CM＝6时，C(－4，0)，∴满足条件的m的值的范围为－4＜m＜2－22，综上所述，满足条件的m的值的范围为：4＜m＜42或－4＜m＜2－22.3.解：(1)①3，13；【解法提示】d的最小值＝OA＝3，d的最大值＝OB＝22＋32＝13.②P1；【解法提示】由题图①可知，P1到线段AB的最小距离＝OA＝3，最大距离＝P1A＝（32）2＋32＝352，则线段AB上存在点M，N，使得P1M＝ON；P2到线段AB的最大距离＝12＋12＝2，∵23，∴P2不符合题意；P3到线段AB的最小距离＝32＋32＝32，∵3213，∴P3不符合题意．(2)第3题解图①由题意得，点D到⊙O的最近距离