《结构动力学》论文

皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-1-《结构动力学》论文建工学院土木工程0901班1引言结构动力学，作为一门课程也可称作机械振动，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。此后另一个重要的发展时期，是与约翰·伯努利，欧拉，达朗贝和拉格朗日等人的名字分不开的。1788年，即牛顿的《自然哲学的数学原理》问世一百年后，拉格朗日在总结了这一时期的成果之后，发表了《分析力学》，为分析动力学奠定了基础，其主要内容就是今天的拉格朗日力学。经典力学分析方法随后的发展主要归功于泊桑，哈密尔顿，雅克比，高斯等人。他们提出新的观念，而这些观念却和哈密尔顿联系在一起，因为质点力学中的基本问题，在这里是用哈密尔顿正则方程来表达的，力学的这一个分支如今称为哈密尔顿力学。也可以这样认为，牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，迄今已有150余年的历史。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间内，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的范畴内用静力学的方法来解决工程实际问题。随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。重所周知，1946年在美国诞生了世界上第一台电子计算机。在半个多世纪的时间里，计算机得到了超出人们想象的飞速发展。计算机改变了人们的生活，完善了现代工业体系，也给工程领域带来了深刻的变革。而结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。作为一门课程，结构动力学的基本体系和内容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学（SingleDegreeofFreedomSystems）简称为SDOF；多自由度系统皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-2-结构动力学（MultiDegreeofFreedomSystems）简称为MDOF；连续系统结构动力学（DistributedParameterSystems）。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。在结构工程专业的硕士研究生阶段，已经学习了结构动力学这门课程。在博士研究生阶段，所要求掌握的高等结构动力学的内容是在硕士阶段学习知识基础上的深入和提高，重点应在于能够熟练运用结构动力学的基本理论和方法建立大型复杂动力结构体系的数学模型并正确求解。本课程报告将按照结构动力学的基本理论体系作概要性的介绍。2经典动力学理论2．1基本概念和基本原理2.1.1基本概念下面列举几个在结构动力学中将反复出现的重要概念。对这些概念的正确理解是深刻掌握结构动力学基本理论的必要前提。1．自由度：自由度是给定力学系统的重要特征，自由度数等于总的坐标数目减去独立的约束方程数目。2．广义坐标：任何一组能够明确表示系统位形(Configuration)的参数。3．真实位移：系统实际所发生的位移，应当满足运动学方程，约束方程和初始条件。4．可能位移：系统中满足约束方程的无穷小位移，不需满足运动学方程和初始条件。5．虚位移：任意两个可能位移之差。6．约束力：由约束物体作用在质点上的力。7．主动力：除去约束力之外的其它的力。8．虚功：主动力及约束力在虚位移上所作的功。9．约束：假定系统相对位置在可能方向上运动的限制。10．理想约束（无功约束）：是这样一种双面约束，对于与约束相一致的任意虚位移，相应约束力的总虚功为零。2.1.2虚功原理由约翰·伯努利在1717年首先作为力学的普遍原理提出，其重要应用是在力学系统的静平衡研究方面。文字表述如下：对于受有理想约束而初始处于静止的定常系统，其静平衡的充要条件是诸主动力在符合约束的任意虚位移中所作的总虚功为零。公式表述为：NiiirFW10(2.1)由于对于连续系统保守力所作功等于系统势能的改变量，故将真实力所作功分为保守力所作的功和非保守力所作的功是便于建立系统的平衡方程的，既有下列两式，这是虚功原理的另外一种表述形式，式中V是系统势能的改变。皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-3-非保守力保守力真实力＋＝WWW(2.2)V＝保守力W(2.3)2.1.3达朗贝原理达朗贝原理实质上是牛顿第二定律的另一种表述形式，即：作用于系统的每个质点上的全部真实力和惯性力之和（矢量和）等于零。公式表述为：0iiirmRF(2.4)利用这一原理，可以把一个动力学问题转化为一个静力学问题来求解，即所谓的动静法。在结构动力学中更为普遍应用的是达朗贝原理的拉格朗日形式。公式表述为：NiNiiiiiiirRrrmF110)((2.5)2.1.4拉格朗日方程牛顿力学是矢量力学，着重于系统各部分相关的力和运动，在建立动力学方程时需要考虑系统各部分之间的相互作用力且需考虑各约束力。而拉格朗日力学是分析力学，是把系统作为一个整体来考虑，并利用动能，位能等标量函数来描述一个动力学系统。对这些函数进行某些运算，往往就能求得一组完整的运动方程而毋需明显地解出作用于系统各部分的约束力。由于假定动力系统所受到的约束通常都是理想约束，则利用拉格朗日方程在建立动力学方程时就不需要考虑约束力，比直接利用牛顿第二定律建立动力学方程要简洁得多。若系统是完整的，并且系统的位形由一组独立的广义坐标诸q来描述，则完整系统拉格朗日方程的标准形式为：),,2,1(0niqLqLdtdii(2.6)其中，L叫做拉格朗日函数，表述为系统动能和位能的差。tqVtqqTtqqL,,,,,(2.7)即(2.6)式也可表示为：niQqVqTqTdtdiiii,2,1(2.8)皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-4-在导出上述公式时，所强加的限制是坐标iq为独立的，因此对于非线性系统及线性系统都是正确的。而对于广义坐标数目大于自由度数的完整系统或非完整系统，引入拉格朗日乘子之后也可得到其相应的方程：MiQgfgVgTgTdtdiCjijjiii,2,11(2.9)其中，ig表示不独立的坐标，nM。2.1.5哈密尔顿原理哈密尔顿原理是经典动力学中一个十分重要的变分原理，首次发表于1834年。其表达为：在位形空间中完整动力学系统于固定的时间区间0t到1t内所经过的实际路径能使积分10ttLdtI对于路径变更来说取驻值，而在路径的端点上这些变更都为零。从数学分析中可以得知，当tqqL,,和tq具有所要求的平滑度时，而且诸q是独立时，则作为0I的充要条件是：),,2,1(0niqLqLdtdii上式实际上就是(2.6)拉格朗日方程。因此哈密尔顿原理和拉格朗日方程对于所假定的系统是等价的，两者可以相互导出，从这个意义上来说，拉格朗日方程是哈密尔顿原理用微分方程来表达的一种形式。哈密尔顿原理把力学的基本方程归结为一个物理概念明确的简单形式0I，表现了自然定律的一种最完美的形式。2．2单自由度系统(SDOF)2.2.1SDOF系统的数学模型单自由度系统的数学模型可以由牛顿第二定律来建立，当然也可以由虚位移原理和拉格朗日方程来建立，SDOF系统的动力学基本方程为：tpkuucumrrr(2.10)方程(2.10)是简单的质—弹—阻尼系统的基本方程，该方程是一个二阶常系数线性非齐次常微分方程，可以很方便地求出其解析解。如果考虑系统受到一定输入的支座激励，则具有支座激励的SDOF系统动力学基本方程为：zmtpkwwcwm(2.11)2.2.2SDOF系统的自由振动SDOF系统动力学基本方程(2.10)中，质量m在一般情况下为常量，用m除(2.10)可以得到一个二阶线性常系数非齐次常微分方程：皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-5-tpkuuunnn222(2.12)式中，mkn2；crcc上式中，kmkmcnncr222n称为无阻尼固有圆频率，单位为弧度/秒；是一个无量纲的参量，称为粘滞阻尼因数；crc称为临界阻尼系数。方程(2.12)的解即系统的总响应是由两个不同性质部分的线性组合。一部分是强迫振动，直接与tp有关；另一部分是固有运动即自由振动。二者叠加即为方程的解。因此，SDOF系统自由振动的基本方程即(2.12)的齐次部分：022uuunn(2.13)对方程(2.13)求其解可得到无阻尼固有圆频率n。根据线性粘滞阻尼因数的大小，可以将粘滞阻尼系统分为三种情况：弱阻尼10，临界阻尼1和过阻尼1。在弱阻尼的情况下，运动是幅值逐渐衰减的摆动；过阻尼的情况是不发生摆动，并且幅值慢慢地衰减；对于临界阻尼系统，则不发生摆动，并且幅值的衰减比弱阻尼和过阻尼的情况都快。对于一般的工程结构均属于弱阻尼情况。由于一个实际系统的阻尼通常是由节点的松度，材料的内阻尼等构成的，因此需要采用试验方法确定某些SDOF系统的动力特性，如无阻尼固有圆频率和阻尼因数。通常采用静态变位测试确定固有圆频率，采用对数衰减法或半幅值法确定阻尼因数。2.2.3SDOF系统简谐激励响应动力响应指在外加动力荷载的激励下，SDOF系统的受迫运动。也即在求解SDOF系统自由振动的无阻尼固有圆频率n的基础上，对方程(2.12)进行求解。最简单同时也最重要的外加激励是简谐激励，即外加动力荷载是按照时间的正弦或余弦函数变化的。在简谐激励中，强迫运动又称为稳态响应。对于给定激励幅值为0p和激励频率为常数的无阻尼SDOF系统，即tptpcos)(0的简谐激励，可以解得系统得总响应为：皖西学院建筑与土木工程学院结构动力学-6-tAtAtrUunnsincoscos12120(2.14)式中，nr称为频比，表示简谐激励的激励频率与无阻尼固有圆频率n之比。当r的值等于1时，无阻尼固有圆频率与外界激励相等，这叫做发生了共振。很明显，当外界激励频率接近共振时，系统响应就变得非常之大。因此，从结构设计的基本原则出发，就是要避免结构发生共振。对于简单的质—弹—阻尼系统，即可用粘滞阻尼因数来表示系统阻尼时，可以解得系统得总响应为：tAtAetrrUuddtnsincoscos2121212220(2.15)2.2.4SDOF系统一般动力响应对于SDOF系统的一般动力激励响应，通常有三种方法可以得到响应的解析表达式：杜哈梅(Duhamel)积分法（时域解），拉普拉斯(Laplance)