免费第3章课件-线性代数-矩阵的初等变换与线性方程组

-1-第三章矩阵的初等变换与线性方程组的解§3.4线性方程组的解§3.3矩阵的秩§3.2初等矩阵§3.1矩阵的初等变换强烈推荐网站：§3.1矩阵的初等变换24412422321321321xxxxxxxxx用Gauss消元法求解下面方程组①②③方程组与增广矩阵是一一对应关系,我们用增广矩阵来写求解过程241412114212~A引例-3-241412114212~A21rr241442121211首先搞清一个概念:什么是同解方程组?同解方程组也称等价方程组.(注:等价与同解有点小区别,这里就不区分了)这个矩阵所对应的方程组与原方程组同解吗?逆变换是什么?以后每一步都思考同样的问题.-4-122rr134rr24144212121124302230121142002230121123rr321r210022301211210060303011322rr312rr231r210020103011-5-21002010301121rr210020101001得到同解方程组(就是解)221321xxxGauss消元法的思想?-6-(3)把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、第三种初等行变换(1)交换矩阵的某两行，记为jirr(2)以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为irk记为jirkr类似定义三种初等列变换jiijikcckkccc)3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的初等变换定义-7-初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．jirr逆变换;jirrikr逆变换irk1jikrr逆变换jikrr初等列变换也有类似的结果-8-等价关系在一个集合S中如果有一种关系R满足(1)自反性：aRa;(2)对称性：aRbbRa;(3)传递性：aRb,bRcaRc。则称R为S的一个等价关系。定义有了等价关系就可以把S的元素进行分类，把相互等价的元素归于同一类，称为等价类。即同一类中的元素都等价，不同类中的元素不等价。在等类价中通常选一个“简单”的元素作为代表，在矩阵中常称这个代表为某某标准形。-9-在的矩阵集合中,如果,则称A与B具有行相抵的关系,问行相抵是不是中的一个等价关系?nmrABnmRnmR在与方程组增广矩阵行相抵的矩阵中,找一个最简单的,然后求解这个最简单的矩阵所对应的方程组.以后我们把这个最简单的矩阵叫做(行)最简阶梯形矩阵.Gauss消元法的思想又可表述为,-10-000010002120021100000000002100010230下面形状的矩阵称为(行)阶梯形矩阵下面形状的矩阵称为(行)最简阶梯形矩阵000010000110020100000000002100010210定义…定义…-11-只用初等行变换必能将矩阵化为阶梯形，从而再化为最简阶梯形。阶梯形不唯一，最简阶梯形唯一。定理-12-979634226441211211129796321132211124121121rr321r3433063550022204121132rr143rr132rr31000620000111041211221r243rr235rr000003100001110412110000031000301104010143rr342rr21rr32rr例1-13-下面讨论对一个矩阵实施初等变换(既可用行变换又可用列变换)能把矩阵化成最简单的形状是什么?如果,则称A与B相抵(也称等价)BA定义在中相抵关系是不是一个等价关系?nmR-14-用初等变换必能将矩阵化为如下等价标准形（也称相抵标准形）：OOOEr等价标准形是唯一的。(等价标准形定理)定理-15-9796342264412112111200000310003011040101例2（接例1）r43cc000000010000010000010000030100300104000100000301003101041001214ccc3215334ccccOOOEr形状为第三章矩阵的初等变换与线性方程组的解§3.4线性方程组的解§3.3矩阵的秩§3.2初等矩阵§3.1矩阵的初等变换-17-§3.2初等矩阵矩阵初等变换前后两个矩阵之间的关系是什么？BA,如何把它们用等号联系起来？-18-??jTiAeAe回顾333231232221131211aaaaaaaaaA31rrBaaaaaaaaa131211232221333231AeAeAeBTTT123AeeeTTT123333231232221131211001010100aaaaaaaaa把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的左边！-19-333231232221131211aaaaaaaaaA2krBaaakakakaaaa333231232221131211AeAkeAeBTTT321AekeeTTT32133323123222113121110000001aaaaaaaaak把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的左边！-20-333231232221131211aaaaaaaaaA13rkrBkaakaakaaaaaaaa133312321131232221131211AkeeAeAeBTTTT)(1321AkeeeeTTTT132133323123222113121110010001aaaaaaaaak把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的左边！-21-333231232221131211aaaaaaaaaABaaaaaaaaa32333122232112131132cc010100001333231232221131211aaaaaaaaa],,[231AeAeAeB],,[231eeeA把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的右边！-22-kaaaaaaaaa000100013332312322211312113kcBkaaakaaakaaa333231232221131211333231232221131211aaaaaaaaaA)](,,[321keAAeAeB],,[321keeeA把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的右边！-23-10001001333231232221131211kaaaaaaaaa13kcc333231232221131211aaaaaaaaaABkaaaakaaaakaaaa313332312123222111131211)](,,[1321keeAAeAeB],,[1321keeeeA把单位矩阵作同样变换得到的矩阵放在A的右边！-24-把单位矩阵分别作第一、第二、第三种初等行变换得到的矩阵分别称为第一、第二、第三种初等矩阵。定义E),(jiEjirr记号))((kiEirkE))(,(kjiEjikrrE-25-1000100013krk000100013kc100010001))(3(kE10001000113krr10010001k31kcc100010001))(1,3(kE10001000131rr00101010010001000131cc)3,1(E-26-初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵。),(),(1jiEjiE))(())((11kiEkiE))(,())(,(1kjiEkjiE为什么??001100001001100001?1000/1000110000001kk?1001000110010001kk定理回想它们逆变换？再验证如下：-27-(左行右列原则)对一个矩阵施行一次初等行变换，相当于在它的左边乘以一个相应的初等矩阵；对一个矩阵施行一次初等列变换，相当于在它的右边乘以一个相应的初等矩阵。定理-28-20082008100010101987654321100001010720089674200865412008321例1-29-例2行的第交换阶可逆矩阵为设1)2(A，nnA)(2则行得到矩阵与第，B**)(BAA的第一列与第二列得到交换**)(BAB的第一行与第二行得到交换**)(BAC的第一列与第二列得到交换**)(BAD的第一行与第二行得到交换BAE)2,1(1*BBB11)2,1(EAA)2,1(*EA-30-OOOEArnm根据“左行右列”原则和“等价标准形定理”得一些有用的推论：推论1存在有限个初等矩阵和sPPP,,,21OOOEQQAQPPPrts2112tQQQ,,,21使得-31-在推论1中如果A可逆,右边的标准形是什么？EQQAQPPPts2112111111QQPPAts注意到初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，又得任一可逆矩阵必可分解为有限个初等矩阵的乘积。从而,矩阵可逆的充要条件是它可分解为有限初等矩阵的乘积。推论2-32-设A是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2，A-1可分解为初等矩阵的乘积：121PPPAl把上式用左行右列原则看又得：A可逆的充要条件是.EAr推论3EAPPPEAAl121思考:EPPAPEAAl121-33-BAA与B等价(即)的充要条件是存在可逆矩阵P和Q使得nmnnmmBQAP推论4根据以上分析，(1)用可逆矩阵P左乘矩阵A,相当于对A作了一系列的初等行变换，反之….(2)用可逆矩阵Q右乘矩阵A,相当于对A作了一系列的初等列变换，反之….-34-设即有初等矩阵使得EArlPPP,,,21EAPPPl12问1A?EAP1EPAP11作一次行变换再作一次行变换