线性代数-矩阵的秩与线性方程组-课件

第一节矩阵的秩Ch3矩阵的秩与线性方程组一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算三、小结、思考题.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm一、矩阵秩的概念.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm0.)(..)(0102ArOAArArADrDrA即等于零并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于）全等阶子式（如果存在的话，且所有式阶子的中有一个不等于设在矩阵定义.)(最高阶数中非零子式的是的秩矩阵AArAnm，对于TA)1().()(ArArT显然有注意：).,min()()2(nmArnm.)()3(kArkA阶子式不为零，则有一个若).()(,0)5(.)(1)4(ArArkArkA则如阶子式均为零，则的所有若为可逆阵且阶方阵，则为若AAnArnArnA0)(,)()6(例1.174532321的秩求矩阵A解中，二阶子式在A，阶子式只有一个的又AA3.03221，且0A.2)(Ar例2.00000340005213023012的秩求矩阵B解行，”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵3B.4阶子式全为零的所有B,0400230312而.3)(Br取自非零行首非零元所在列说明.非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其例3，求该矩阵的秩．已知510231202231A,022031二阶子式102120231502320231解计算A的3阶子式，,0,0510312223512310221,0,0.0.2Ar做初等变换，对矩阵510231202231A另解,000031202231~510231202231得显然，非零行的行数为2，.2Ar此方法简单！问题：？若对，有没有理论根据这种方法到底对不对？二、矩阵秩的计算3定义矩阵为称满足以下两个条件的nm行阶梯形矩阵：元个数多；个数比其上一行这种零的话）前的零元每行的非零元（如果有)1(.)2(元素全为零则其下所有行的如果某行没有非零元，为，则称其是所在的列的其它元素都，且这些行的首非零元均为若行阶梯形矩阵的非零011.行最简形矩阵.,形矩阵行变换把它变为行阶梯总可经过有限次初等对于任何矩阵nmA问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？.,~2BrArBA则若定理证明略1定理证明略初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4．的一个最高阶非零子式秩，并求的求矩阵设AAA,41461351021632305023阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对A解41461351021632305023A0502335102163234146114r05023351021134041461)1(42r0502335102163234146114r1281216011791201134041461)3()2(1413rr05023351021134041461)1(42r1281216011791201134041461)3()2(1413rr84000840001134041461)3(23r)4(24r00000840001134041461(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知.3)(Ar)1(34r84000840001134041461)3(23r)4(24r.)2(的一个最高阶子式再求A四列得二三行及一二取第一,,,,A对应矩阵04141610161502623，阶可逆矩阵设An,0A,AA的最高阶非零子式即为.)(nAr故.为满秩矩阵，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数.奇异矩阵为降秩矩阵:满秩矩阵阶满秩矩阵，则必有阶、分别是矩阵，而是任一设nmQPnmA,的推论：定理11推论()()()()rArPArAQrPAQ证明：.1,,,即知本推论成立由定理果，结作了有限次初等变换的均可看成是对这样乘积矩阵有限个初等矩阵的乘积）可以表示成满秩矩阵（即可逆矩阵APAQAQPA2推论的标准形分解为矩阵若已知任一AnmQOOOIPPNQAr.)(的阶数）（即单位矩阵则必有rIrAr]1[即得。提示：利用推论.IA的标准形必为单位阵显然，可逆矩阵例54321,6063324208421221bA设.),(的秩及矩阵求矩阵bABA解),~,~(~bABB的行阶梯形矩阵为若分析：的行阶梯形矩阵，就是则AA~).()()~,~(~BrArbAB及中可同时看出故从46063332422084211221B13600512000240011221)2()2(1312rr)3(14r1360051200024001122110000500000120011221)1()21(232rr)3(24r)2()2(1312rr)3(14r00000100000120011221)5(43r34r.3)(,2)(BrAr10000500000120011221)1()21(232rr)3(24r三、小结(2)初等变换法1.矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法(1)利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题1,63334222211kkkkA已知矩阵取何值时，问：k)1(;1)(Ar)2(;2)(Ar)3(.3)(Ar思考题1解答解：~63334222211kkkkA~)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112kkkkkkk0)1)(2(00)1(2)1()1(0211kkkkkk；时，即得，当1)(1Ark；时，当2)(2Ark.3)(12Arkk时，且当0)1)(2(00)1(2)1()1(0211~kkkkkkA由(2),()()?TArAArA设为任一实矩阵与是否相等思考题2(1)设A为可逆阵,且r(A)=3,则r(AB)-r(B)=-------。0思考题2解答答相等.,0x因为对于任一实向量,0时当方程组Ax,0AxAT必有有时反之当,0AxAT0AxAxTT即20TAxAxAx;0Ax由此可知,俩方程组,00同解与AxAAxT.ArAArT故第二节齐次线性方程组判定一、线性方程组有解的二、线性方程组的解法三、小结、思考题Ch3矩阵的秩与线性方程组一、齐次线性方程组有解的判定条件的解．组的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵0AxA问题：引例求解齐次线性方程组0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx解341122121221A463046301221施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵A)1()2(1312rr0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx①②③②-①2，③-①，得046304630224324324321xxxxxxxxxx①④⑤消元法来解此方程组，利用Gauss463046301221046304630224324324321xxxxxxxxxx①④⑤0000342101221)31()1(223rr⑤-④，④得)31(034210224324321xxxxxxx①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？0000342101221)2(21r0000342103520103420352432431xxxxxx①⑥得，2行最简形矩阵034210224324321xxxxxxx①⑥即得与原方程组同解的方程组,0342,0352432431xxxxxx移项即得,342,352432431xxxxxx).,(43xx称自由未知量,342,352212211ccxccx形式，把它写成通常的参数令2413,cxcx.1034350122214321ccxxxx即原方程组的解为),(21可取任意实数参数cc,01213ccx,10214ccx.)(.0个参数表达式中含有且通解矩阵的秩的充分必要条件是系数有非零解元齐次线性方程组ArnnArxAnnm证必要性.,,nDnAnAr阶非零子式中应有一个则在若,根据克拉默定理个方程只有零解所对应的nDn从而有非零解，（反证）设方程组0Ax定理1方程组的通解．线性个参数的一般解，称为定义：含有)(Arn于是，有这与原方程组有非零解相矛盾，.nAr即不能成立．nAr)(充分性.,nrAr设.个自由未知量从而知其有rn任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０，即可得方程组的一个非零解.个非零行，的行阶梯形矩阵只含则rA.证毕为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。结论：二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解032030432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A进行初等变换321131111111A210042001111~.000021001011~,42Ar由于故方程组有非零解，且有434212xxxxx42442342242110200111xxxxxxxxxxxx210042001111为什么选为非自由未知量？31,xx选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！1212341110.0201xxccxx12(,)ccR得方程组的通解为42442342242110200111xxxxxxxxxxxx由例2设有齐次