时间序列分析(第一章、第二章)

《应用时间序列分析》何书元编著北京大学出版社概率统计学科中应用性较强的一个分支广泛的应用领域：金融经济气象水文信号处理机械振动…………Wolfer记录的300年的太阳黑子数太阳黑子对地球的影响会出现磁暴现象会引起地球上气候的变化会影响地球上的地震会影响树木生长会影响到我们的身体………………………杭州近三年房价走势房地产业、房价关乎国计民生的支柱产业影响着城镇居民的住房消费影响着水泥，钢铁，建材，冶金等相关行业的发展影响着地方政府财政收入…………………………….股市是经济的晴雨表从股市本身看，我国股市的确有自己的特点股票是一种高风险的资本投资………………………………1985至2000年广州月平均气温国际航空公司月旅客数050100150100200300400500600700化学反应过程中溶液浓度数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5目的：描述、解释、预测、控制本书主要介绍时间序列的基本知识、常用的建模和预测方法参考书：1.时间序列的理论与方法田铮译高等教育出版社2.NonlinearTimeSeries:NonparametricandParametricMethodsJianqingFanQiweiYao3.应用时间序列分析王燕中国人民大学出版社4.时间序列分析易丹辉中国人民大学出版社5.时间序列分析的小波方法机械工业出版社目录第一章时间序列第二章自回归模型第三章滑动平均模型与自回归滑动平均模型第四章均值和自协方差函数的估计第五章时间序列的预报第六章ARMA模型的参数估计《应用时间序列分析》第一章时间序列时间序列、平稳序列线性平稳序列、平稳序列的谱函数§1.1时间序列的分解按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。对时间序列进行观察、研究，找寻它变化发展的规律，预测它将来的走势就是时间序列分析。一、时间序列的定义时间序列:按时间次序排列的随机变量序列个观测样本:随机序列的个有序观测值称序列是时间序列(1.1)的一次实现或一条轨道)1.1(,,21XX)2.1(,,,21nxxxnn)3.1(,,21xx二、时间序列的分解趋势项、季节项、随机项)4.1(,2,1,tRSTXtttt}{tT}{tS}{tR模型的描述、解释自然规律：一年四季变化(降雨量、气温等等)生活规律：周六、周日休息日每天的上下班(用水量、用电量旅游人数、乘客人数)经济发展规律：螺旋型上升(国民生产总值、股市价格、外率等等)社会的发展规律:(道路是曲折的、前途是光明的)………………………注：1.单周期s季节项，则此时在模型中可要求.,2,1),()(ttSstSsjjttS1,2,1,02.随机项，可设3..,0EtRt三、分解方法例一.某城市居民季度用煤消耗量例图分解一般步骤1.趋势项估计分段趋势(年平均)线性回归拟合直线二次曲线回归滑动平均估计}ˆ{tT2.估计趋势项后,所得数据由季节项和随机项组成,季节项估计可由该数据的每个季节平均而得.3.随机项估计即为方法一：分段趋势法1、趋势项(年平均)减去趋势项后,所得数据}ˆ{ttTX2、季节项}ˆ{tS3.随机项的估计.24,,2,1,ˆˆˆtSTxRtttt方法二：回归直线法一、趋势项估计一元线性回归模型最小二乘估计为可得到.24,,2,1,9.211.5780ˆttTt2421111,),,,(.24,,2,1,21YxxxXtbtaxTttYXYYbaTT1)()ˆ,ˆ(1.直线趋势项消去趋势项后,所得数据}ˆ{ttTX2、季节项估计为}24,,2,1,ˆ{tSt3.随机项估计为.24,,2,1,ˆˆˆtSTxRtttt方法三：二次曲线法26.10.175.5948ttxtYXYYcbaTT1)(),,(24,,2,1,2tctbtaxtt1.二次项估计（趋势项）数据和二次趋势项估计2.季节项、随机项例二、美国罢工数（51-80年）（滑动平均法）051015202530300035004000450050005500600065001.趋势项（5项平均）2.季节项和随机项051015202530-1000-800-600-400-2000200400600800例三、化学溶液浓度变化数据0204060801001201401601802001616.51717.51818.5020406080100120140160180200-1-0.500.511.5例四、Canadianlynxdata（猞猁）例五、沪深1209（股指期货）0204060801001201401602200230024002500260027002800050100150-0.04-0.03-0.02-0.0100.010.020.03)(log)1(log)(tXtXtY例六、国际航空公司的月客数050100150100200300400500600700y2=log(y1);plot(y2);0501001504.64.855.25.45.65.866.26.46.6y3=diff(y2);y=y3(13:143)-y3(1:131);020406080100120140-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.15数据处理后的图§1.2平稳序列1.时间序列的分解中趋势项和季节项通常可以用非随机函数来描述。2.随机项通常呈现出沿一水平波动的性质，且前后数据具有一定的相关性，与独立序列有所不同。一、平稳序列例2.1平稳序列的线性变换baEYt例2.2调和平稳序列自协方差函数的性质性质(2)的证明证任取一个维实向量有Tnaaa),,,(21n0])([))((211111niiininjjijininjjijinTXaEXXaaEaa性质(3)、Schwarz不等式非负定性、随机变量的线性相关自相关系数白噪声、白噪声模拟例2.3Poisson过程Poisson白噪声Poisson白噪声的60样本的产生1.随机产生服从(0,1)上均匀的200个样本:2.给出服从参数为1的指数分布的200个独立样本;3.给出参数为1的Poisson过程一条样本轨道在i=1,…,61上的取值；参数为1的Poisson白噪声的60个样本I0102030405060-1-0.500.511.522.533.54样本II0102030405060-1-0.500.511.52例：布朗运动标准正态白噪声的60个样本:A=randn(1,60)；plot(A)随机相位随机相位独立白噪声的60个样本独立白噪声的60个样本，其中独立同分布且都在上服从均匀分布ZtUatbXtt),cos()2,0(,,21UU010203040506000.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060-1.5-1-0.500.511.5二、正交和不相关性定理2.2§1.3线性平稳序列和线性滤波有限运动平均线性平稳序列时间序列的线性滤波有限运动平均)2,0(~,*85.0*36.0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468MA的平稳性概率极限定理线性平稳序列1.线性序列的a.s.收敛性2.线性序列的平稳性注:绝对可和下的线性序列注:均方意义下的线性序列NjjNjjtjaaE||222||0)(证当时.0][2][][||||||||2/||2/12222/||2/12222/||2/12222/||2/||222kjkjjjkjjjjkjkjjjkjkjkjjkjjjkjjkaaaaaaaaaaaak单边线性序列线性滤波矩形窗滤波器例3.1余弦波信号的滤波0102030405060708090100-2-1012345678注:)2/sin()]2/sin()2/[sin(21)2/sin()cos()cos()cos())(cos(MjjjUtjbUjtbMjMjMjMjMjMjMjMj0102030405060708090100-4-3-2-101234余弦波信号的滤波§1.4正态时间序列和随机变量的收敛性随机向量的数学期望和方差正态平稳序列随机向量的数学期望和方差随机向量线性变换多维正态分布多维正态分布的充要条件正态平稳序列概率极限正态序列收敛定理正态线性序列证明平稳序列已证。下证为正态序列先证对任何,有其中.Nm)9.4(),,0(~),,,(21mTmNXXXXjijjimmkjmaa2,)(对任何,定义则有当时,有Tmbbbb),,,(21n0|)(|kkXnE0|])([||||]))(([||)(|11mkkkkmkkkknnXbEnXbEYE由定理4.2,得到依分布收敛到，且Yn则从而由和定理4.1得到(4.9).).,(~VarYEYNYbbVarYEYmTΣ,0用同样方法可以证明:对任何有其中.定理4.4成立.注:当时结论仍成立.)10.4(),,0(~),,,(21mTlmllNXXXXjijjimmkjmaa2,)(Nl2}{laj§1.5严平稳序列及其遍历性严平稳与宽平稳关系遍历性宽平稳遍历性例子严平稳遍历定理例5.1线性平稳列的遍历定理（1）正态白噪声（2）Poisson白噪声（3）独立同分布的白噪声Hilbert空间中的平稳序列Hilbert空间内积的连续性复值随机变量Hilbert空间内积的连续性例、n维Hilbert空间复值随机变量复值时间序列§1.7平稳序列的谱函数时域和频域谱函数定义谱函数存在唯一性定理谱函数和谱密度的关系线性平稳序列的谱密度例)2,0(~,*85.0*36.0221WNXttttt0102030405060708090100-8-6-4-202468自相关函数图谱密度图00.511.522.533.500.511.522.533.5两正交序列的谱线性滤波与谱