管理运筹学-第5章--动态规划

管理运筹学管理运筹学–马越峰第五章动态规划5.1.动态规划的基本概念和最优化原理5.2.动态规划模型的建立与求解5.3.动态规划在经济管理中的应用管理运筹学–马越峰5.1.动态规划的基本概念和最优化原理例1最短路径问题下图表示从起点A到终点E之间各点的距离。求A到E的最短路径。BACBDBCDEC4123123123221647248386756110643751管理运筹学–马越峰讨论：1、以上求从A到E的最短路径问题，可以转化为四个性质完全相同，但规模较小的子问题，即分别从Di、Ci、Bi、A到E的最短路径问题。第四阶段：两个始点D1和D2，终点只有一个；分析得知：从D1和D2到E的最短路径唯一。阶段4本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)ED1D210*6106EE管理运筹学–马越峰第三阶段：有三个始点C1，C2，C3，终点有D1，D2，对始点和终点进行分析和讨论分别求C1，C2，C3到D1，D2的最短路径问题：分析得知：如果经过C1，则最短路为C1-D2-E；如果经过C2，则最短路为C2-D2-E；如果经过C3，则最短路为C3-D1-E。阶段3本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)D1D2C1C2C38+10=187+10=171+10=116+6=125+6=116+6=12121111D2D2D1管理运筹学–马越峰第二阶段：有4个始点B1,B2,B3,B4，终点有C1,C2,C3。对始点和终点进行分析和讨论分别求B1,B2,B3,B4到C1,C2,C3的最短路径问题：阶段2本阶段始点（状态）本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点（最优决策)C1C2C3B1B2B3B42+12=144+12=164+12=167+12=191+11=127+11=188+11=195+11=166+11=172+11=133+11=141+11=1212131412C2C3C3C3管理运筹学–马越峰第一阶段：只有1个始点A，终点有B1,B2,B3,B4。对始点和终点进行分析和讨论分别求A到B1,B2,B3,B4的最短路径问题：最后可以得到：从A到E的最短路径为AB4C3D1E阶段1本阶段始点(状态)本阶段各终点（决策）到E的最短距离本阶段最优终点(最优决策)B1B2B3B4A4+12=163+13=163+14=172+12=1414B4管理运筹学–马越峰一、基本概念：1、阶段k：表示决策顺序的离散的量，阶段可以按时间或空间划分。2、状态sk：表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件。状态可以是数量，也可以是字符，数量状态可以是连续的，也可以是离散的。3、决策xk：从某一状态向下一状态过渡时所做的选择。决策是所在状态的函数，记为xk(sk)。决策允许集合Dk(sk)：在状态sk下，允许采取决策的全体。D3(C1)=｛D1,D2｝基本概念、基本方程与最优化原理例题中K=？s3=?管理运筹学–马越峰4、策略Pk,n(sk)：从第k阶段开始到最后第n阶段的决策序列，称k子策略。P1,n(s1)即为全过程策略。5、状态转移方程sk+1=Tk(sk,xk)：某一状态以及该状态下的决策，与下一状态之间的函数关系。6、阶段指标函数vk(sk,xk)：从状态sk出发，选择决策xk所产生的第k阶段指标。过程指标函数Vk,n(sk,xk,xk+1,…,xn)：从状态sk出发，选择决策xk,xk+1,…,xn所产生的过程指标。管理运筹学–马越峰二、基本方程：最优指标函数fk(sk)：从状态sk出发，对所有的策略Pk,n，过程指标Vk,n的最优值，即)},({)(,,)(nkknksDxkkPsVsfoptkkk对于可加性指标函数，上式可以写为nksfxsvsfkkkkksDxkkoptkkk,,2,1)}(),({)(11)(终端条件：为了使以上的递推方程有递推的起点，必须要设定最优指标的终端条件，一般最后一个状态n+1下最优指标fn+1(sn+1)=0。管理运筹学–马越峰三、最优化原理作为整个过程的最优策略具有如下性质：不管在此最优策略上的某个状态以前的状态和决策如何，对该状态来说，以后的所有决策必定构成最优子策略。就是说，最优策略的任意子策略都是最优的。管理运筹学–马越峰一、资源分配问题例2:某公司拟将某种设备5台，分配给所属的甲、乙、丙三个工厂,各工厂获得此设备后，预测可创造的利润如表所示，问这5台设备应如何分配给这3个工厂，使得所创造的总利润为最大？盈利工厂设备台数甲厂乙厂丙厂0000135427106391111412111251311125.2动态规划模型的建立与求解管理运筹学–马越峰解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk=分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3)xk=分配给第k个设备台数。已知s1=5,并有从与的定义，可知以下我们从第三阶段开始计算。222223),(xsxsTskskx33xs111112),(xsxsTs管理运筹学–马越峰第三阶段:显然将台设备都分配给第3工厂时，也就是时，第3阶段的指标值（即第3厂的盈利）为最大，即由于第3阶段是最后的阶段，故有其中可取值为0,1,2,3,4,5。其数值计算见表。)5,4,3,2,1,0(33ss).,(),(max)(333333333ssrxsrsfx3x),(),(max3333333ssrxsrx33xs管理运筹学–马越峰01234500－－－－－001－4－－－－412－－6－－－623－－－11－－1134－－－－12－1245－－－－－121253x3s),(333xsr)(33sf3*x管理运筹学–马越峰第二阶段：当把台设备分配给第2工厂和第3工厂时，则对每个值，有一种最优分配方案，使最大盈利即最优2子过程最优指标函数值为)5,4,3,2,1,0(22ss2s)](),([max)(33222222sfxsrsfx管理运筹学–马越峰因为上式也可写成其数值计算如表所示。,223xss0123450－－－－－0010＋4－－－－5120＋65＋4－－－10230＋115＋611＋0－－14240＋1211＋411＋0－161,250＋125＋1211＋611＋411＋02122x2s)(),(233222xsfxsr)(22sf2*x00050104101156101110)(),(max)(223222222xsfxsrsfx管理运筹学–马越峰第一阶段：把台设备分配给第1、第2、第3厂时，最大盈利为其中可取值0,1,2,3,4,5.数值计算见表然后按计算表格的顺序推算，可知最优分配方案有两个：甲：0台乙：2台丙：3台甲：2台乙：2台丙：1台)5(11ss)],5(),5([max)5(111111xfxrfx1xx1s1r1(5,x1)+f2(5-x1)f1(x)X1*01234550+213+167+149+1012+513+0210,2管理运筹学–马越峰背包问题设有n种物品，每一种物品数量无限。第i种物品每件重量为wi公斤，每件价值ci元。现有一只可装载重量W公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。这个问题可以用整数规划模型来描述。设xi为第i种物品装入背包的件数（i=1,2,…,n），背包中物品的总价值为z，则Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxns.t.w1x1+w2x2+…+wnxn≤Wx1,x2,…,xn0且为整数。5.3动态规划的应用管理运筹学–马越峰例3:某咨询公司有10个工作日可以去处理四种类型的咨询项目，每种类型的咨询项目中待处理的客户数量、处理每个客户所需工作日数以及所获得的利润如表所示。显然该公司在10天内不能处理完所有的客户，它可以自己挑选一些客户，其余的请其他咨询公司去做，应如何选择客户使得在这10个工作日中获利最大？咨询项目类型待处理客户数处理每个客户所需工作日数处理每个客户所获利润123443221347281120管理运筹学–马越峰解：用动态规划来求解此题。我们把此问题分成四个阶段，第一阶段我们决策将处理多少个第一种咨询项目类型中的客户，第二阶段决策将处理多少个第二种咨询项目类型中的客户，第三阶段、第四阶段我们也将作出类似的决策。我们设＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日（第k阶段的状态变量）。=在第k种咨询项目中处理客户的数量（第k阶段的决策变量）。已知＝10并有kx1s,),(111112xsxsTsks,3),(222223xsxsTs.4),(333334xsxsTs管理运筹学–马越峰因为至多为10，其数值计算见表4s010－001－002－003－004－005－006－00702018020190201100114x4s),(444xsr)(44sf4*x000000020202020第四阶段：管理运筹学–马越峰0120－－001－－002－－003－－0040＋0－11150＋0－11160＋0－111711+0－20080＋2011+022290＋2011+0222100＋2011+02223x3s)4(),(334333xsfxsr)(33sf3*x00000020001101101102202202200第三阶段：管理运筹学–马越峰第二阶段：管理运筹学–马越峰第一阶段：最优解：****12340101xxxx====管理运筹学–马越峰1.石油输送管道铺设最优方案的选择问题.下图中A为出发点,E为目的地,B,C,D分别为三个必须建立油泵加压站的地区,图中的线段表示管道可铺设的位置,线段旁的数字为铺设管道线所需的费用.问如何铺设管道才使总费用最小.练习.管理运筹学–马越峰B3B1B2AC1C2C3D1D2E35463532441525745434管理运筹学–马越峰2.某公司有资金400万元,向A,B,C三个项目追加投资,三个项目可以有不同的投资额度,相应的效益值如下,问如何分配资金,才使总效益最大.效益投资值额项目01234ABC474946515270596176717188767888管理运筹学–马越峰3.某厂为扩大生产能力，拟订购某种成套设备4—6套,以分配给所辖1,2,3三个分厂使用,预计各分厂分得不同套数的设备后每年创造的利润如下表.该厂应订购几套设备并如何分配,才能使每年预计创利润总额最大.利润套数分厂01234561230003425656797886985107管理运筹学–马越峰4.某厂生产三种产品,各种产品的重量与利润关系如下表所示.现将三种产品运往市场出售.运输能力总量不超过10吨.问如何安排运输使得总利润为最大.种类重量利润(元/件)123234100140180