数列求和典型习题

考点自主整合热点考向聚集高效课时作业第五节数列求和考点自主整合热点考向聚集高效课时作业考点自主整合热点考向聚集高效课时作业数列求和的常用方法1．公式法(1)直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和．(2)一些常见的数列的前n项和①1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12；②12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋12n＋16；③2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；④1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2；⑤13＋23＋…＋n3＝[nn＋12]2＝n2n＋124.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业2．倒序相加法如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的拆项公式有：(1)1nn＋1＝1n－1n＋1；(2)1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；(3)12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；(4)1nn＋1n＋2＝12[1nn＋1－1n＋1n＋2]；(5)1n＋n＋1＝n＋1－n；(6)1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业1．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N)，则f(n)等于________．解析：此列数表示以a1＝2，q＝23的等比数列，共n＋1项，利用求和可得f(n)＝27(8n＋1－1)．答案：27(8n＋1－1)考点自主整合热点考向聚集高效课时作业2．数列12·5，15·8，18·11，…，13n－1·3n＋2…的前n项和为________．解析：∵an＝13n－13n＋2＝1313n－1－13n＋2∴Sn＝13(12－15＋15－18＋…＋13n－1－13n＋2)＝13(12－13n＋2)＝13·3n＋2－223n＋2＝n6n＋4.答案：n6n＋4考点自主整合热点考向聚集高效课时作业3.12＋12＋38＋…＋n2n等于________．解析：∵Sn＝12＋222＋323＋…＋n2n，12Sn＝122＋223＋…＋n－12n＋n2n＋1，∴两式相减得：12Sn＝12＋122＋…＋12n－n2n＋1＝12[1－12n]1－12－n2n＋1，∴Sn＝2n＋1－n－22n.答案：2n＋1－n－22n考点自主整合热点考向聚集高效课时作业4．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝4，a2＋a3＋a4＝－2，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝________.解析：公比q＝a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝－24＝－12.∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝q(a2＋a3＋a4)＋q4(a2＋a3＋a4)＝[－12＋(－12)4](－2)＝78.答案：78考点自主整合热点考向聚集高效课时作业5．已知数列{an}中，an＝(－1)n＋1(4n－3)，其前n项和为Sn，则S22－S11＝________.答案：－65考点自主整合热点考向聚集高效课时作业热点考向一分组求和考点自主整合热点考向聚集高效课时作业求和：Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2.【解析】当x＝±1时，Sn＝4n.当x≠±1时，Sn＝x＋1x2＋x2＋1x22＋…＋xn＋1xn2＝x2＋2＋1x2＋x4＋2＋1x4＋…＋x2n＋2＋1x2n＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋1x2＋1x4＋…＋1x2n＝x2x2n－1x2－1＋x－21－x－2n1－x－2＋2n＝x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2n.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业∴Sn＝4nx＝±1，x2n－1x2n＋2＋1x2nx2－1＋2nx≠±1.【点评】先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数列的和，它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业1．求和Sn＝1＋1＋12＋1＋12＋14＋…＋1＋12＋14＋…＋12n－1.解析：和式中第k项为ak＝1＋12＋14＋…＋12k－1＝1－12k1－12＝21－12k.Sn＝21－12＋1－122＋…＋1－12n＝21＋1＋…＋1n个－12＋122＋…＋12n＝2n－121－12n1－12＝12n－1＋2n－2.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业热点考向二错位相减求和考点自主整合热点考向聚集高效课时作业等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝n＋14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以当n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列，又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，a2a1＝b，即bb－1b＋r＝b，解得r＝－1.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业(2)由(1)知，n∈N*，an＝(b－1)bn－1，当b＝2时，an＝2n－1，所以bn＝n＋14×2n－1＝n＋12n＋1.Tn＝222＋323＋424＋…＋n＋12n＋1，12Tn＝223＋324＋…＋n2n＋1＋n＋12n＋2，考点自主整合热点考向聚集高效课时作业两式相减得12Tn＝222＋123＋124＋…＋12n＋1－n＋12n＋2＝12＋123×1－12n－11－12－n＋12n＋2＝34－12n＋1－n＋12n＋2，故Tn＝32－12n－n＋12n＋1＝32－n＋32n＋1.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业【点评】凡是由一等差数列{an}和一等比数列{bn}对应项之积构成的数列的求和，均可采用乘公比错位相减法．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业2．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解析：(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2，且n∈N*时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.当n＝1时，a1＝2满足上式．故{an}的通项公式为an＝4n－2(n∈N*)．设{bn}的公比为q，则由a2－a1＝4，b1＝a1＝2，及b2(a2－a1)＝b1得，q＝14.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业故bn＝b1qn－1＝2×14n－1，∴{bn}的通项公式为bn＝24n－1(n∈N*)．(2)∵cn＝anbn＝4n－224n－1＝(2n－1)4n－1(n∈N*)，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝[1＋3×4＋5×42＋…＋(2n－1)4n－1]4Tn＝[1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)×4n－1＋(2n－1)×4n]．两式相减得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝13[(6n－5)·4n＋5]．∴Tn＝19[(6n－5)·4n＋5](n∈N*)．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业热点考向三裂项法求和考点自主整合热点考向聚集高效课时作业在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.(1)若Tn为数列1anan＋1的前n项和，求Tn；(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值．【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1＋4d＝5，3a1＋33－12d＝6，解得：a1＝1，d＝1，所以an＝n，所以1anan＋1＝1nn＋1＝1n－1n＋1，Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λnn＋1，∴λ≤n＋12n，又n＋12n＝n＋1n＋2≥4，当且仅当n＝1n，即n＝1时取等号，任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，∴λ的最大值为4.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业【点评】裂项求和是数列求和中的一种重要方法，它通过对通项公式进行整理变形，然后在相加过程中出现前后项正负抵消或约分的情况，从而求得结果．值得注意的是，利用裂项求和方法时，抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，才能使裂开的两项差与原通项公式相等．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业3．设数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.解析：(1)依题意得Snn＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝1＝6×1－5.所以an＝6n－5(n∈N*)．考点自主整合热点考向聚集高效课时作业(2)由(1)得bn＝3anan＋1＝36n－5[6n＋1－5]＝1216n－5－16n＋1，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝121－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1＝121－16n＋1.因此，使得121－16n＋1＜m20(n∈N*)成立的m必须且仅须满足12≤m20，即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业热点考向四数列求和的综合问题考点自主整合热点考向聚集高效课时作业已知数列{an}的每一项都是正数，满足a1＝2且a2n＋1－anan＋1－2a2n＝0；等差数列{bn}的前n项和为Tn，b2＝3，T5＝25.(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；(2)比较1T1＋1T2＋…＋1Tn与2的大小；(3)若b1a1＋b2a2＋…＋bnan＜c恒成立，求整数c的最小值．【解析】(1)由a2n＋1－anan＋1－2a2n＝0，得(an＋1－2an)(an＋1＋an)＝0，由于数列{an}的每一项都是正数，∴an＋1＝2an，∴an＝2n.设bn＝b1＋(n－1)d，由已知有b1＋d＝3,5b1＋5×42d＝25，解得b1＝1，d＝2，∴bn＝2n－1.考点自主整合热点考向聚集高效课时作业(2)由(1)得Tn＝n2，∴1Tn＝1n2，当n＝1时，1T1＝1＜2.当n≥2时，1n2＜1n－1n＝1n－1－1n.∴1T1＋1T2＋…＋1Tn＜1＋11－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n＜2.(