第四章-最优化方法和最优化设计

LOGO第四章最优化方法与最优化设计LOGO第四章最优化方法与最优化设计第一节：最优化设计的基本原理第二节：目标函数第三节：最优化方法概述第四节：一维搜索法第五节：无约束最优化的梯度方法第六节：无约束最优化的直接方法第七节：约束最优化问题1、最优化设计的基本流程和分类如何？2、什么是目标函数？3、如何使用最速下降法、牛顿法和单纯形法优化电路？4、如何使用外罚函数法和内罚函数法优化电路？LOGO4.1最优化设计的基本原理计算机辅助设计传统计算机设计（人工改变电路参数）最优化设计（计算机改变电路参数）传统计算机设计人工改变电路参数。计算机：快速计算。人：分析判断结果，修改电路。一种半自动的方法。主要问题：在设计中，每次电路修改都必须有一次输入和输出，再加上设计者对每次输出结果的分析判断，使整个设计时间延长，机器的使用效率很低，造成很大的机器时间浪费。最优化设计计算机改变电路参数。在给定电路拓扑情况下优化其元件参数，使电路性能“最优”，或达到预定的目标值。（CAD）对电路拓扑和元件参数都进行优化，使电路性能达到“最优”。（EDA）LOGO计算机最优化设计流程1、根据设计指标，确定电路的初始拓扑滤波器（低通、高通、带通）、功分器、定向耦合器、混频器、倍频器、放大器（LNA、PA）等。传统上初始电路的选择，主要是依靠经验。现在很多常用的电路形式，在ADS里都可以用DesignGuide，直接给定电路的初始拓扑，实现微波电路的EDA。LOGO计算机最优化设计流程2、给定初始值初始值应尽量接近真实值，否则会导致优化时间过长，或者得不到全局最优解。给定初始值的方法：经验设计编程综合大型设计软件（ADS–DesignGuide）LOGO计算机最优化设计流程ADS–DesignGuideLOGO计算机最优化设计流程3、电路分析利用电路模型和元件初值得到电路的特性参数传递矩阵法节点导纳矩阵法散射矩阵法4、比较计算出误差函数值，如果误差值大于规定值，则调用最优化子程序。否则就设计结束。（误差函数：评价设计结果的好坏以及判断设计是否已经达到规定的目标。）LOGO计算机最优化设计流程5、最优化最优化子程序按照规定的某种最优搜索方法进行工作，找出使误差减小的元件值，并对原电路元件参数自动进行修改，从而得到比原电路性能有改进的新电路。如此反复执行上述过程，误差将愈来愈小，电路的特性将不断逼近规定特性。最优搜索一直进行到误差小于规定值为止，此时计算机输出一组满足规定指标的电路元件参数。LOGO4.2.1误差函数在微波电路的最优化设计中，为了评价设计结果的好坏或判断设计是否满足目标，必须定义一个误差判据，这里通常是定义一个误差函数，用来表示电路性能与要求性能之间的差异程度；微波电路最优化设计的实质就是使误差函数逐步降为极小的过程。在微波电路的最优化问题中，通常将这个误差函数称为目标函数。LOGO12,,,,xxiTniiExWTxTxxxxTxTWTxT定义：刻画实际电路特性与理想电路特性的差值的函数。加权误差函数定义为：其中：：。：，包括功率增益、电压传输系数或衰减系数等。：，即我们所期望的特性值。：频率（或时间）的。它的作用是加强或减弱给定频率上与之间的差异程度，在最优待优化参数向量电路特性函数理想特性函数加权化设计中，随每次迭代而改变，每函一个数代x表一个具体电路对于给定的,加权误差是频率f的函数。4.2.1误差函数LOGO4.2.2目标函数11,,pmpkkikkkxWTxTmpW定义：直接用于进行最优化计算的误差函数。其中：：频率采样点数。：误差函数的指数。：加权函数。m：频率采样点数其中的频率采样点数量的选择因优化对象而异。变化比较平缓的，点数可以少取；变化较剧烈的，就应该多取。比如对于增益平坦的微波放大器，在全频段选取5-10个频率点就足够了；对于滤波器传输特性，在工作频带内采样点选(3-4)n个即可，这里的n为滤波器腔数。另外，对于不同的频率区间，可选不同的m。W(ωk)：加权函数适用情况：用于多个参数进行优化的情况；或同一参数在不同的频段要求不同。加权函数是根据设计指标选定的，选择加权函数的目的是改善设计效果。在实际的微波电路设计中，因为目标函数所包含的各指标之间有些是互相矛盾或互相制约的，一般很难保证全频域和全部指标都达到最优。例如，频带加宽驻波系数就要变坏，若要动态范围大，输出功率就要受限制。因此，对各项指标要权衡取舍。借助于选用适当的加权函数，就可以保证重要指标或重要频域内的特性要求。LOGO4.2.2目标函数p：误差函数的指数11,,mkkikkpxWTxT时，目标函数是代数和的形式优点：优化过程平缓，速度快。kW缺点：传输系数可能出现尖峰，难以处理；频带边缘处达不到优化目标。处理方法：在超差频点处加大权函数。1,1,,max,maxkikkmkmpxTxTm时，误差函数中数值越大的分量影响越大。目标函数逼近于误差函数中的最大分量。（最大误差形式的目标函数）其中：表示在项中选出最大值的项。212,,mkkikkpxWTxT最常用的误差函数指数：此时目标函数通常采用平方和的形式。当最优化运算进行若干次之后，如果仍有部分频域不能满足要求，可适当加大p值。一般情况下，取p=5~10就有足够的精度逼近误差函数的最大分量。但是开始优化时不宜把p值取得过大，以免在优化过程中目标函数起伏，难以寻找极小值。LOGO4.2.2目标函数注意：并不是在任何情况下，对应每一个特性指标都要建立其对应的单目标函数。对于相关的特性指标，只需建立一个单目标函数。LOGO4.2.3目标函数极值及全域最小值问题一元函数的极值极小值和最小值0002200xxxxxxdxdxdxdx如果一元函数存在一阶导数，则函数极小值出现于的是：二阶导数大于零是为了保证求得的是极小值而不充分是必要条件极大值。最优化运算目标函数的极小值分析函数的极值特性LOGO4.2.3目标函数极值及全域最小值问题多元函数的极值00000102000nTTnRgxxxxAxxAxxAAA元函数在域内极值点的是：函数极小值存在的充分条件为：多元函数极小值的是：多元函数极小点的为：即目标函数的梯度为零且二阶偏导数矩阵正定。的各阶主子式必要条件充分条件充的行列式大于零分必要条件正定120,,,nTnnxnRxxxxnxR假设：代表维欧氏空间域中的函数；＝是维变量；为域内的一个点。000000012TTxxxxxxxAxxxxxxxgAnn在附近把展开成泰勒级数，并忽略高次项，用向量和矩阵的形式表示为：：向量与之差；：函数在点的梯度，用表示；：的二阶偏导数矩阵，又称为汉森矩阵。01101122020000nnnnxxxxxxxxxgxxxxxx，2220002112122200022122222000212nnnnnxxxxxxxxxxxAxxxxxxxxxxxxxLOGO4.2.3目标函数极值及全域最小值问题全域最小点极小值全域最小值函数的凸性LOGO4.2.3目标函数极值及全域最小值问题一元凸函数,,xabxab函数在取值范围内，任意两个变量点曲线段上的点的函数值小于或等于两点连线上的数值，则称为区间的凸函数。12121212a,,0111a,xbaxxbxxxxxxxb数学定义：设为定义在区间上的一元函数，如果对于适合的任何、和恒有则称为为定义在区间上的凸函数221.,,,0xabababdxdx函数如果在区间为凸函数，则它的极小值就是区间的最小值；2.凸函数判别的充分必要条件是：在区间内处处皆存在。LOGO4.2.3目标函数极值及全域最小值问题多元凸函数可行域：在多维空间中，变量的取值范围也是个空间，称为可行域。函数凸性的分析仅限于可行域内。凸集：设D为n维欧式空间的变量可行域，如果D内任意两点xa和xb的连线都在可行域内，则此域称为凸集。121122nD1.D2.1101Daxaxaxxaxaxxx，则是上的如果是维空间凸集上的函数，则有：对于上的任何和，凸函数；凸函数的极小值就是全域的恒有：最小值；3.0TxDDxAAxxAx多元凸函数的判别方法：若在上有连续二阶偏导数，而且在上处处满足：，即若处处汉森矩阵处处半正正定，则定，为严则是凸函数；格凸函数。LOGO4.3最优化方法概述最优化设计过程最优化设计过程实质上是一个反复利用最优化方法修改电路，使电路特性不断改进，最后达到预定特性的过程。因此最优化方法在最优化设计中起着十分重要的作用。LOGO4.3最优化方法概述微波电路待优化参数：集总元件参数；分布元件的尺寸和阻抗等。LOGO4.3最优化方法概述最优化方法分类最优化方法解析法搜索法一维搜索法无约束最优化约束最优化梯度法直接搜索法LOGO4.3最优化方法概述解析法导数求极值。适用范围：简单函数和具有明确数学表达式的函数。特点：局限性大（复杂电路基本上都没有解析表达式）。一维搜索法一般来说，从点Xk出发，沿规定搜索方向pk求目标函数的极小点Xk+1便构成某些最优化方法的一种基本过程。此时目标函数变成了参变量t的一元函数U(Xk+tpk)，这种求t使U(Xk+tpk)为极小的过程，称为一维搜索。许多最优化方法通常由一系列一维搜索组成，所以一维搜索法是实现许多最优化方法的一种基本方法。tLOGO4.3最优化方法概述梯度法利用目标函数的梯度信息来确定搜索方向的方法。过程：求出电路特性对元件值变化的梯度，以误差函数梯度下降方向修改元件值。包括：最速下降法、牛顿法、DFP变尺度法、高斯-牛顿最小二乘法等。直接方法不利用梯度信息，而通过直接计算目标函数值来确定搜索方向的方法。过程：少量增减元件值，比较误差值，找出误差下降最有效的方向。包括：模式搜索法、单纯形法、共轭方向法等。两种方法比较梯度法：优点：在极小点附近收敛较快。缺点：梯度计算比较困难；矩阵代数程序编写比较复杂。直接方法：优点：适应性较广，且程序编写比较方便。缺点：在极小点附近收敛较慢。LOGO4.3最优化方法概述约束最优化问题对待优化变量范围加以限制约束最优化问题无约束最优化问题实际电路优化设计问题LOGO4.3最优化方法概述最优化方法的选择最优化方法方法一方法二方法三设计目标函数类型一类型二类型三有效的设计方法：选用多种优化方法优化设计过程的进展，不仅与所采用的优化方法相关，还与目标函数的类型、性质以及一些初始量选择有关LOGO4.4一维搜索法区间消去法的基本原理在搜索过程中不断地缩短最小点存在的区间，直至最小点存在的区间达到允许的误差范围为止。U(t1)U(t2)U(t1)U(t2)U(t1)=U(t2)设一元函数U(t)在区间[a0,b0]是一凸函数，区间消去法的一般做法是，先在搜索区间[a0,b0]内选取两点t1和t2，并计算其函数值U(t1)和U(t2)。在区间[a0,b0]内取两点，算出它们的函数值并加以比较，就可