辅助线练习题-含答案

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。（一）、截取构全等例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC例3．已知：如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：AB-AC=CD图1-2ADBCEF图1-3ABCDE图1-4ABCDE（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等例1．如图2-1，已知ABAD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。求证：BC=AB+AD例3．已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：∠BAC的平分线也经过点P。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形例1．已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC，ABAC,CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=21（AB-AC）图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABCMNDF图示3-1ABCDHE例2．已知：如图3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。例3．已知：如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。例4．已知：如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。求证：AM=21（AB+AC）图3-2DABEFC图3-3DBEFNACM图3-4nEBADCMF（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线图4-2图4-1CABCBAFIEDHG例4如图，ABAC,∠1=∠2，求证：AB－ACBD－CD。例5如图，BCBA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：∠A+∠C=180。例6如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。12ACDBBDCAABECD练习：1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。求证：△ABC是直角三角形。2．已知：如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：BC=AB+ADCABABCDAEBDCABDC12二、由线段和差想到的辅助线例1、已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB+ACBD+DE+CE.例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC∠BAC。一、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CFEF。ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图ABCDEFN13图1234例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求证：∠ADC+∠B=180º例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。求证：BC=AB+DC。例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=21DB。1．如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：AD=AB+CD。DAECBAEBCDDCBAMBDCAEDCBA三、由中点想到的辅助线口诀：三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。（二）、由中点应想到利用三角形的中位线例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。（三）、由中线应想到延长中线例3．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。（五）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。（六）中线延长口诀：三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。例一：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE+CFEF。14图ABCDEFM1234例二：如图5-1：AD为△ABC的中线，求证：AB+AC2AD。练习：1如图，AB=6，AC=8，D为BC的中点，求AD的取值范围。2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE。3如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。求证：AM⊥DC。4，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。ABCDE15图DMCDEDADBDBADC86BECDA5．已知：如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：BF=AC四、全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：①延长中线构造全等三角形；②利用翻折，构造全等三角形；③引平行线构造全等三角形；④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．ABCDEF25图ABDCEFDCBAEDFCBA3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（一）、倍长中线（线段）造全等1：（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.EDCBA中考应用EDCBA（09崇文二模）以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，90,BADCAE连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰RtABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．（二）、截长补短1.如图，ABC中，AB=2AC，AD平分BAC，且AD=BD，求证：CD⊥AC2：如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BDCDBADCBAP21DCBAPQCBA3：如图，已知在ABC内，060BAC，040C，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC，求证：0180CA5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC中考应用（08海淀一模）（三）、平移变换1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为AP，△EBC周长记为BP.求证BP＞AP.2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.EDCBA（四）、借助角平分线造全等