《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案

（第1页，共18页）试卷一：一、单项选择题（3分×5=15分）1、1、下列各式正确的是（）（A）1limnknnknAA;（B）1limnknknnAA;（C）1limnknnknAA;（D）1limnknknnAA;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（）（A）Pc(B)0mP(C)PP'(D)PP3、下列说法不正确的是（）(A)凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C)开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测4、设()nfx是E上的..ae有限的可测函数列,则下面不成立的是()（A）若()()nfxfx,则()()nfxfx(B)sup()nnfx是可测函数（C）inf()nnfx是可测函数;（D）若()()nfxfx,则()fx可测5、设f(x)是],[ba上有界变差函数，则下面不成立的是（）(A))(xf在],[ba上有界(B))(xf在],[ba上几乎处处存在导数（C）)('xf在],[ba上L可积(D)baafbfdxxf)()()('二.填空题(3分×5=15分)1、()(())ssCACBAAB_________2、设E是0,1上有理点全体，则'E=______,oE=______,E=______.3、设E是nR中点集，如果对任一点集T都有得分得分（第2页，共18页）_________________________________，则称E是L可测的4、)(xf可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()fx为,ab上的有限函数，如果对于,ab的一切分划，使_____________________________________________________,则称()fx为,ab上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.(5分×4=20分)1、设1ER，若E是稠密集，则CE是无处稠密集。2、若0mE，则E一定是可数集.3、若|()|fx是可测函数，则()fx必是可测函数。4．设()fx在可测集E上可积分，若,()0xEfx，则()0Efx得分（第3页，共18页）四、解答题（8分×2=16分）.1、（8分）设2,()1,xxfxx为无理数为有理数，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，若可积，求出积分值。2、（8分）求0ln()limcosxnxnexdxn得分（第4页，共18页）五、证明题（6分×4+10=34分）.1、（6分）证明0,1上的全体无理数作成的集其势为c.2、（6分）设()fx是,上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}aExfxa是闭集。3、（6分）在,ab上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个增函数之差。得分考生答题不得超过此线（第5页，共18页）4、（6分）设,()mEfx在E上可积，(||)neEfn，则lim0nnnme.5、（10分）设()fx是E上..ae有限的函数，若对任意0，存在闭子集FE，使()fx在F上连续，且()mEF，证明：()fx是E上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)得分阅卷人复查人（第6页，共18页）试卷一答案：试卷一（参考答案及评分标准）一、1.C2D3.B4.A5.D二、1．2、0,1；；0,13、***()()mTmTEmTCE4、充要5、11|()()|niiifxfx成一有界数集。三、1．错误……………………………………………………2分例如：设E是0,1上有理点全体，则E和CE都在0,1中稠密………………………..5分2．错误…………………………………………………………2分例如：设E是Cantor集，则0mE，但Ec，故其为不可数集……………………….5分3．错误…………………………………………………………2分例如：设E是,ab上的不可测集，,;(),,;xxEfxxxabE则|()|fx是,ab上的可测函数，但()fx不是,ab上的可测函数………………………………………………………………..5分4．错误…………………………………………………………2分0mE时，对E上任意的实函数()fx都有()0Efxdx…5分四、1．()fx在0,1上不是R可积的，因为()fx仅在1x处连续，即不连续点为正测度集………………………………………..3分因为()fx是有界可测函数，()fx在0,1上是L可积的…6分因为()fx与2x..ae相等，进一步，120,101()3fxdxxdx…8分（第7页，共18页）2．解：设ln()()cosxnxnfxexn，则易知当n时，()0nfx…………………………..2分又因'2ln1ln0tttt，(3t)，所以当3,0nx时，ln()ln()ln3ln3(1)33xnnxxnnxxnnxnn………………4分从而使得ln3|()|(1)3xnfxxe…………………………………6分但是不等式右边的函数，在0,上是L可积的，故有00lim()lim()0nnnnfxdxfxdx…………………………………8分五、1．设[0,1],E,\().AEQBEEQBMB是无限集，可数子集…………………………2分.AAMM是可数集，……………………………….3分(\),(\),()(\),(\),BMBMEABAMBMAMBMMBM且…………..5分,.EBBc………………………………………………6分2．,{},limnnnxEExxx则存在中的互异点列使……….2分,()nnxEfxa………………………………………….3分()()lim()nnfxxfxfxa在点连续，xE…………………………………………………………5分E是闭集.…………………………………………………….6分3.对1，0，使对任意互不相交的有限个(,)(,)iiabab当1()niiiba时，有1()()1niiifbfa………………2分（第8页，共18页）将[,]abm等分，使11niiixx，对:T101ixzzkizx，有11()()1kiiifzfz，所以()fx在1[,]iixx上是有界变差函数……………………………….5分所以1()1,iixxfV从而()bafmV，因此，()fx是[,]ab上的有界变差函数…………………………………………………………..6分4、()fx在E上可积lim(||)(||)0nmEfnmEf……2分据积分的绝对连续性，0,0,,eEme，有|()|efxdx………………………………………………….4分对上述0,,,(||)knkmEfn，从而|()|nnenmefxdx，即lim0nnnme…………………6分5．,nN存在闭集1,,()2nnnFEmEFfx在nF连续………………………………………………………………2分令1nknkFF，则,,,()nnnkxFkxFnkxFfx在F连续…………………………………………………………4分又对任意k,[()][()]nnnknkmEFmEFmEF1()2nknkmEF…………………………………………….6分故()0,()mEFfx在FE连续…………………………..8分又()0,mEF所以()fx是EF上的可测函数，从而是E上的可测函数………………………………………………………..10分（第9页，共18页）试卷二：《实变函数》试卷二专业________班级_______姓名学号注意事项1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。一.单项选择题（3分×5=15分）1．设,MN是两集合，则()MMN=（）(A)M(B)N(C)MN(D)2.下列说法不正确的是()(A)0P的任一领域内都有E中无穷多个点，则0P是E的聚点(B)0P的任一领域内至少有一个E中异于0P的点，则0P是E的聚点(C)存在E中点列nP，使0nPP，则0P是E的聚点(D)内点必是聚点3.下列断言()是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)任意个闭集的交是闭集；(C)任意个闭集的并是闭集；(D)以上都不对；4.下列断言中()是错误的。（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；题号一二三四五总分得分得分（第10页，共18页）（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；5.若()fx是可测函数，则下列断言（）是正确的(A)()fx在,abL可积|()|fx在,abL可积；(B)(),|()|,fxabRfxabR在可积在可积(C)(),|()|,fxabLfxabR在可积在可积;(D)(),()fxaRfxL在广义可积在a,+可积二.填空题(3分×5=15分)1、设11[,2],1,2,nAnnn，则nnAlim_________。2、设P为Cantor集，则P，mP_____，oP=________。3、设iS是一列可测集，则11______iiiimSmS4、鲁津定理：_____________________________________________________________________________________________________________________5、设()Fx为,ab上的有限函数，如果______________________________________________________________________________________________________________________________则称()Fx为,ab上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.(5分×4=20分)1、由于0,10,10,1，故不存在使0,101和，之间11对应的映射。得分得分阅卷人复查人得分（第11页，共18页）2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、..ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题(8分×2=16分)1、设,()1,xxfxx为无理数为有理数，则()fx在0,1上是否R可积，是否L可积，得分（第12页，共18页）若可积，求出积分值。2、求极限13220limsin1nnxnxdxnx.五.证明题(6分×3+82=34分)1.(6分)1、设f(x)是),(上的实值连续函数，则对任意常数c，})(|{cxfxE是一开集.得分（第13页，共18页）2.(6分)设0,,GE开集使*()mGE，则E是可测集。3.（6分）在,ab上的任一有界变差函数()fx都可以表示为两个增函数之差。4.（8分）设函数列()nfx(1,2,)n在有界集E上“基本上”一致收敛于()fx，证明：()..nfxae收敛于()fx。（第14页，共18页）5.（8分）设()fx在,Eab上可积，则对任何0