难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

第1页共6页寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60的二面角--a的两个面内，分别有A和B两点．已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段10AB，试求：（1）直线AB与棱a所构成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作aAD；在平面内作BE，EBCD//，连结BC、AC．可以证明aCD，则由二面角的平面角的定义，可知ADC为二面角--a的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2如图，在平面内有一条直线AC与平面成30，AC与棱BD成45，求平面与平面的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A作BDAF；AE平面，连结FE．由三垂线定理可证第2页共6页EFBD，则AFE为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BDAF”、“连结EF”、“证明BDEF”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为--CD内的一点，PA于A点，PB于B点，如果nAPB，试求二面角--CD的平面角．分析：CDCDPBPBCDPAPA平面PAB．因此只要把平面PAB与平面、的交线画出来即可．证明AEB为--CD的平面角，nAEB180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A作CDAE，垂足为E，连结EB，我们还必须证明CDEB，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4已知斜三棱柱111-CBAABC中，平面1AB与平面1AC构成的二图1图2第3页共6页面角的平面角为30，平面1AB与平面1BC构成的二面角为70．试求平面1AC与平面1BC构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．四、平移平面法例5如图，正方体1111-DCBAABCD中，E为1AA的中点，H为1CC上的点，且211：：HCCH．设正方体的棱长为a，求平面EHD1与底面1111DCBA构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与另一个平面构成的角的大小的原理，如果能把二面角中的一个平面平移，找出辅助平面与另一个平面的交线，就可以作出二面角的平面角．有了平面角之后，只需要进行常规构造三角形和解三角形的计算，就可以解决问题了．如图，过点E作11//DAEM与DD1相交于M点，过M点作11DCMN，与HD1相交于N点．可证平面//EMN平面1111DCBA．这样，求平面EHD1与平面1111DCBA的二面角的平面角就转化为求平面EHD1与平面EMN的二面角的平面角．显然EN为这两个平面的交线，过点M作ENMF，F为垂足，连结FD1，可证ENFD1．则FMD1为本题要第4页共6页寻找的二面角．五、找垂面，作垂线例6如图，正方体1111-DCBAABCD中，M为棱AD的中点，求平面CBCB11和平面MBC1所构成的锐二面角的正切．分析：平面AC与二面角CBCM--1的一个面CB1垂直，与另一个平面1CMB相交，过M点作BCMP，垂足为P，过P作BCPN，交1CB于N点，连结MN，由三垂线定理可证1BCMN，则MNP为二面角CBCM--1的平面角．总结：当一个平面与二面角的一个平面垂直，与另一个平面相交时，往往过这个面上的一点作这两个垂直平面交线的垂线，再过垂足作二面角棱的垂线．根据三垂线定理即可证明，并找出二面角的平面角．再如图，要找--a所构成的二面角的平面角，可找平面，且b，l，过b上任何一点A作lAB，垂足为B，过B作BC，垂足为C，连结AC，可证ACB为--a的平面角．六、根据特殊图形的性质找二面角的平面角1．三线合一例7如图，空间四边形ABCD中，3ADAB，4CDBC，2BD，5AC．试求CBDA--二面角的余弦值．分析：如图1，ADAB，CDBC，则△ABD和△BDC为等腰三第5页共6页角形．过A作BDAE，垂足为E，连结CE．根据等腰三角形三线合一，且E为BD中点，可证BDCE，则AEC为二面角CBDA--的平面角．2．全等三角形例8如图，已知空间四边形ABCD，6BCAB，4DCAD，8BD，6AC．试求CBDA--的余弦值．分析：过A作BDAE，垂足为E，连结CE．根据已知条件，△AED和△CED全等，可证BDCE，则AEC为二面角CBDA--的平面角．3．二面角的棱蜕化成一点例9如图，四棱锥BCEDA-中，DB和EC与面ABC垂直，△ABC为正三角形．（1）若BDECBC时，求面ADE与面ABC的夹角；（2）若BDECBC2时，求面ADE与面ABC的夹角．分析：如图，面ADE与面ABC的交线蜕化成一点，但面ADE与面ABC与面DC相交．如果三个平面两两相交，它们可能有三种情况：（1）交线为一点；（2）一条交线；（3）三条交线互相平行．在图1中，两条交线BC与DE互相平行，所以肯定有过A且平行于DE的一条交线．可过A作DEAM//，平面ADE与平面ABC的交线即为AM．过A作DEAN于N，过A作BCAF于F．可证AMAN，AMAF，则NAF第6页共6页为面ADE与面ABC的夹角．如图，DE与CB不平行且相交．根据三个平面两两相交可能出现的三种情况，这三个面的交线为一点．延长ED、CB相交于G点，连结AG．AG即为平面ADE与平面ABC的交线，通过一些关系可证CAE为平面ADE与平面ABC的夹角．通过以上分析和举例说明，寻找二面角的平面角的方法就比较容易了．只要我们勤动脑，善观察，多总结，抓住问题的特征，找出适当的方法，关于二面角的平面角的问题就会迎刃而解．