直线与圆的代数方法专题训练(教师版)

直线与圆的代数方法专题训练一、有关垂直问题：1、已知圆C：044222yxyx，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为2223)2()1(yx假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CM⊥l，∴kCMkl=－1∴kCM=112ab，即a+b+1=0，得b=－a－1①直线l的方程为y－b=x－a，即x－y+b－a=0CM=23ab∵以AB为直径的圆M过原点，∴OMMBMA2)3(92222abCMCBMB，222baOM∴2222)3(9baab②把①代入②得0322aa，∴123aa或当25,23ba时此时直线l的方程为x－y－4=0；当0,1ba时此时直线l的方程为x－y+1=0故这样的直线l是存在的，方程为x－y－4=0或x－y+1=0评析：此题用0OAOB,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单二、取值范围问题2、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C：x2＋y2=m2，当圆C与线段．．AB没有公共点时，求m的取值范围.解：∵过点A、B的直线方程为在l：x－y＋1=0,作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：|m|＜OP或|m|＞OB时，线段AB与圆x2＋y2=m2无交点.（I）当|m|＜OP时，由点到直线的距离公式得：yxMABCOPBAO22|m|2|1||m|，即22m22.（II）当m＞OB时,22||32||13mm,即13m13m或.∴当22m22和0m13m13m且与时，圆x2＋y2=m2与线段AB无交点.3、．已知动圆与轴相切，且过点.⑴求动圆圆心的轨迹方程；⑵设、为曲线上两点，，，求点横坐标的取值范围.解：⑴设为轨迹上任一点，则化简得：为求。⑵设，，∵∴∴或为求三、定点（或定值）问题4、已知圆4)4()3(:22yxC，直线1l过定点)0,1(A。（1）若1l与圆相切，求1l的方程；（2）若1l与圆相交于Q、P丙点，线段PQ的中点为M，又1l与022:2yxl的交点为N，判断ANAM是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（1）①若直线1l的斜率不存在，即直线是1x，符合题意。……2分②若直线1l斜率存在，设直线1l为)1(xky，即0kykx。Qx0,2AQMBCM2,2PPBBCC,Pxy2220yxy2114yx2111,14Bxx2221,14Cxx0PBBC211162xxx210x26x由题意知，圆心)4,3(以已知直线1l的距离等于半径2，即：21432kkk，解之得43k所求直线方程是1x，0343yx（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为0kykx由0022lykxyx得)123,1222(KkKkN又直线CM与1l垂直，由)3(14xkykkxy得)124,134(2222kkkkkkM∴22222222)123()11222()124()1134(kkkkkkkkkkANAM6121311122222kkkkk为定值。故ANAM是定值，且为6。四、探索性问题5、已知过点)0,1(A的动直线l与圆C：4)3(22yx相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：063yx相交于N.（１）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；（２）当32PQ时，求直线l的方程；（３）探索ANAM是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.解析：（１）∵l与m垂直，且31mk，∴3lk，故直线l方程为3(1)yx，即330xy∵圆心坐标（0，3）满足直线l方程，∴当l与m垂直时，l必过圆心C（２）①当直线l与x轴垂直时,易知1x符合题意②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为)1(xky，即0kykx，NCMQPOAxy···lm第17题NCMQPOAxy···lm第17题∵32PQ，∴134CM，………………………………………8分则由11|3|2kkCM，得34k,∴直线l：0434yx.故直线l的方程为1x或0434yx………………………………………10分（３）∵CMMN,∴()AMANACCMANACANCMANACAN……12分①当l与x轴垂直时，易得5(1,)3N，则5(0,)3AN,又(1,3)AC,∴5AMANACAN………………………………………………………14分当l的斜率存在时，设直线l的方程为)1(xky，则由063)1(yxxky，得N（36,13kkkk315）,则55(,)1313kANkk∴AMANACAN=51551313kkk综上所述，ANAM与直线l的斜率无关，且5ANAM.…………………16分课后综合训练1、已知过点,且与:关于直线对称.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)设为上的一个动点,求的最小值；(Ⅲ)过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由.解:(Ⅰ)设圆心,则,解得…………(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为………(5分)(Ⅱ)设,则,且==,…………………………(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)(Ⅲ)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,,由,得………(11分)因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得同理,,C)1,1(PM222(2)(2)(0)xyrr20xyCQCPQMQPCBA,PAPBOOPABC(,)ab222022212abba00abC222xyrP22rC222xy(,)Qxy222xy(1,1)(2,2)PQMQxyxy224xyxy2xyPQMQ4PAPB:1(1)PAykx:1(1)PBykx221(1)2ykxxy222(1)2(1)(1)20kxkkxkP1x22211Akkxk22211Bkkxk所以=所以,直线和一定平行2、已知圆O的方程为且与圆O相切。（1）求直线的方程；（2）设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）∵直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，…………………………2分则圆心到直线的距离为，解得，∴直线的方程为，即．（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得,∴以为直径的圆的方程为，又，∴整理得，若圆经过定点，只需令，从而有，解得，∴圆总经过定点坐标为．3、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程；⑵求圆的方程；⑶设点在圆上，试问使△的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.(1)(1)2()1BABABAABBABABAyykxkxkkxxkxxxxxxOPkABOP），，过点直线03(,1122Alyx1l2l2l'P2l'Q''QP1l(3,0)AC221xy1l(3)ykx30kxyk(0,0)O1l2|3|11kdk42k1l2(3)4yx2(3)4yx122yx0y1x(1,0),(1,0)PQ2lAx2l3x(,)MstPM).1(1xsty3,(1)1xtyxs).14,3('stP).12,3('stQPQC0)12)(14()3)(3(stystyxx122ts2262(61)0sxyxyt-+-++=C0y=2610xx-+=322xC(322,0)P1,0A3,4BABPCD||410CDCDPQPQABQ解：⑴直线的斜率，中点坐标为，∴直线方程为（4分）⑵设圆心，则由在上得：①又直径,,又∴②（7分）由①②解得或∴圆心或∴圆的方程为或（9分）⑶，∴当△面积为时，点到直线的距离为。又圆心到直线的距离为，圆的半径且∴圆上共有两个点使△的面积为.（14分）4、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A33,2的入射光线l1被直线l：33yx反射，反射光线l2交y轴于B点．圆C过点A且与l1、l2相切．（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．解析．（Ⅰ）直线1:2,ly设1232llDD交于点，则（，）．l的倾斜角为30，260l的倾斜角为，23.k反射光线2l所在的直线方程为23(23)yx．即340xy．已知圆C与1lA切于点，设C（a,b)圆心C在过点D且与l垂直的直线上，38ba①又圆心C在过点A且与1l垂直的直线上，33a②，由①②得331ab，圆C的半径r=3．故所求圆C的方程为22(33)(1)9xy．（Ⅱ）设点0,4B关于l的对称点00(,)Bxy，AB1kAB1,2CD21yx即x+y-3=0,abPPCD30ab||410CD||210PA22(1)40ab24PAPB2224270abab36ab52ab3,6P5,2PP223640xy225240xy224442ABQAB8QAB22PAB42P210r4222210QQAB8xyOABl2l1l则0000443,3232yxyx且得(23,2)B．固定点Q可发现，当BPQ、、共线时，PBPQ最小，故PBPQ的最小值为为3BC．13321233333yxyx，得31(,),22P最小值32213BC．5、已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解：（1）由6、已知圆22:9Cxy，点(5,0)A，直线:20lxy.⑴求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；⑵在直线OA上（O为坐标原点），存在定点B（不同于点A），满足：对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.解：⑴设所求直线方程为2yxb，即20xyb，直线与圆相切，∴22||321b，得35b，∴所求直线方程为235yx---------5分22(1,):(2)(3)1aklCxy的直线与kAMAN定值12,OMONk求的值(1,),lak直线过点(0,1)且方向向量1lykx直线的方程为22311,1kk得474733k22CATTAT设焦点的的一条切线为,为切点,则=72cos07.AMANAMANATAMAN为定值1122(3)(,),(,)MxyNxy设1ykxx22将代入方程(-2)+(y-3)=1得kxkx22(1+)-4(1+)+7=0212227,11kxxxxkk1