实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章-复习指导

1主要内容为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数——可测函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给出的一些充要条件（如定理4.2.1等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反映了可测函数的优越和方便之处。二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的函数列部分的“恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作用。勒贝格定理（定理4.3.2）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理4.3.3）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数，单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理4.2.6证明中的构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。复习题一、判断题1、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，如果对任意实数a，都有[()]Exfxa为可测集，则()fx为E上的可测函数。（√）2、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，如果对某个实数a，有[()]Exfxa不是可测集，则()fx不是E上的可测函数。（√）3、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对某个实数a，[()]Exfxa为可测集。（×）24、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a，[()]Exfxa为可测集。（×）5、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a，[()]Exfxa为可测集。（√）6、设()fx是定义在可测集nER上的实函数，则()fx为E上的可测函数等价于对任意实数a和b（ab），[()]Exafxb为可测集。（×）7、设E是零测集，()fx是E上的实函数，则()fx为E上的可测函数。（√）8、若可测集E上的可测函数列{()nfx}在E上几乎处处收敛于可测函数()fx，则{()nfx}在E上“基本上”一致收敛于()fx。（×）9、设()fx为可测集E上几乎处处有限的可测函数，则()fx在E上“基本上”连续。（√）10、设E为可测集，若E上的可测函数列()()nfxfx（xE），则{()nfx}的任何子列都在E上几乎处处收敛于可测函数()fx。（×）11、设E为可测集，若E上的可测函数列()()nfxfx..ae于E，则()()nfxfx（xE）。（×）二、填空题1、[]Efa等于11[]nEfan，[]Efa等于11[]nEfan。2、[]Eafb包含于[]Efa，[]Eafb包含于[]Efb；[]Eafb等于[][]EfaEfb，[]Eafb等于[][]EfaEfb。3、设1nnEE，则[]Efa等于1[]nnEfa。4、设1nnEE，则[]Efa等于1[]nnEfa。5、由于区间I上的单调函数()fx的不连续点所成的集为至多可数集，则()fx为I上的几乎处处连续函数，从而()fx为I上的可测函数。6、叙述可测函数的四则运算性可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测。37、叙述可测函数与简单函数的关系简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限。8、叙述可测函数与连续函数的关系连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数。9、叙述叶果洛夫定理设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛。10、叙述鲁津定理设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数。11、若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()fx等于()gx几乎处处于E。三、证明题1、证明：1R上的连续函数必为可测函数。证明：设()fx是1R上的连续函数，由连续函数的局部保号性，对任意实数a，11[]{(),}RxfaxfxaxR是开集，从而是可测集。所以，()fx是1R上的可测函数。2、证明：1R上的单调函数必为可测函数。证明：不妨设()fx是1R上的单调递增函数，对任意实数a，记inf{()}Axfxa，由单调函数的特点得，当{()}Axfxa时，{()}[,)xfxaA，显然是可测集；当{()}Axfxa时，{()}(,)xfxaA，也显然是可测集。故()fx是1R上的可测函数。3、证明：若()()nfxfx，()()nfxgx（xE），则()()fxgx..ae于E。证明：由于11[()()][]nExfxgxExfgn，而111[][][]22nnExfgExffExfgkkk，所以，111[][][]22nnmExfgmExffmExfgkkk，由()()nfxfx，()()nfxgx（xE）得1lim[]02nnmExffk，1lim[]02nnmExfgk。4所以，1[]0mExfgk，从而[()()]0mExfxgx，即()()fxgx..ae于E。4、证明：若()()nfxfx，()()ngxgx（xE），则()()()()nnfxgxfxgx（xE）。证明：对任意0，由于()()[()()]()()()()nnnnfxgxfxgxfxfxgxgx，所以，由()()[()()]nnfxgxfxgx可得，1()()2nfxfx和1()()2ngxgx至少有一个成立。从而11[[]][][]22nnnnExfgfgExffExgg，所以，11[[]][][]22nnnnmExfgfgmExffmExgg。又由()()nfxfx，()()ngxgx（xE）得，1lim[]02nnmExff，1lim[]02nnmExgg。所以，lim[[]]0nnnmExfgfg，即()()()()nnfxgxfxgx（xE）。5、若()()nfxfx（xE），则()()nfxfx（xE）。证明：因为()()()()nnfxfxfxfx，所以，对任意0，有[][]nnExffExff，[][]nnmExffmExff。又由()()nfxfx（xE）得，lim[]0nnmExff。所以，lim[]0nnmExff，即()()nfxfx（xE）。6.证明当)(xf既是1E上又是2E上的非负可测函数，)(xf也是21EE上的非负可5测函数.证：由题设，对任意常数])(,;[,11axfExxEEa与])(,;[22axfExxEE都是1E与2E上的可测集.于是可测集的并集：])(,;[2121axfEExxEEE也为可测集，从而)(xf为21EE上的可测函数.证毕.7.证明如果)(xf是nR上的连续函数,则)(xf在nR上的任何可测子集E上都可测.证:由于对任意常数a,])(,;[axfRxxEEn仍为开集,证明如下:Ex0,则axf)(0.令axf)(0作球),(00xrxS,当),(00xrxsx时,由连续性可知|)()(|0xfxf,即得到:axfxf)()(0,表明Ex,从而])(,;[),(00axfRxxErxsnx,此即])(,;[axfRxxEEn为开集,显然也是可测集(教材70页Th2)故)(xf在nR的任何子集E上可测,证毕.8.设)()(,)()(xgxgExfxfnn于于E，证明)()()()(xgxfxgxfnn于E.证：对0∵E]|))()(())()((|;[xgxfxgxfxnn]2|)()(|;[]2|)()(|;[xgxgxExfxfxEnn∴]|))()(())()((|;[xgxfxgxfxmEnn]2|)()(|;[]2|)()(|;[xgxgxmExfxfxmEnn由题设，当n，最后两个集测度都为零，故)()()()(xgxfxgxfnn于E.证毕9.设mE，)}({xfn及)(xf分别是E上几乎处处有限的可测函数列及可测函数，如果对任意0，存在E的子集E，使)\(EEm且)}({xfn在E上一致收敛于)(xf，证明：)}({xfn在E上几乎处处收敛于)(xf．6证：对任意正整数k，由题设知，存在子集EEk，使得)}({xfn在kE上一致收敛于)(xf，且kEEmk1)\(．从而在kkE1上有)()(limxfxfnn又因,2,1,\\1kEEEEkkk，故有)(01)\()\(1kkEEmEEmkkk所以0)\(1kkEEm．因此..)()(limeaxfxfnn于E．10.设mE，证明：ffmn.于E对任意子列nnffk，存在子列kjknnff，使得ffeanjk..于E．证：必要性由ffmn.于E对任意子列nnffk，显然也有ffmnk.于E，只要对knf应用Riesz定理可知，存在子列kjknnff，使得ffeanjk..于E．充分性设若不然，ffmn.于E不成立，则00，使得0][lim0ffEmnn，注意到0[ffEmn是一个非负有界数列，所以存在子列nnffk，使得0)(][lim0存在affEmknk．下证：knf中不存在任何..ea收敛于f的子列。事实上，若有子列kjknnff，使得ffeanjk..于E，因为mE，所以由Lebesgue定理知，ffmnjk.于E0][lim0ffEmjknj，但此与0][lim0affEmjknj产生矛盾。从而与假设条件不符，故ffmn.于E．证毕。7.设mE，()fx是E上a．e．有限的可测函数，证明：对任意0，存在EE和0M，使得()mEE，且对任意xE，有︱()fx︱M．7证法1：令,nBfAfn，若对0,,,nnmA则因为1nnBA且nA是E中递减可测集列，,nmAmE于是lim,nnmBmA这与0mB的假设相矛盾，所以一定存在某个,,kkmA于是取,,kEEAMk则,kmEEmA且对\kxEEA，有().fxkM证法2设0[]Ef，则00mE．kZ，令[]kEf