上海市浦东新区2020届高三数学二模试卷

浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学试卷2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集210,,U，集合10,A，则AUC．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为．3.若函数21xxf，则11f．4.若i1是关于x的方程02qpxx的一个根（其中i为虚数单位，Rq,p），则qp．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为．6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数ttytx1，圆O的参数方程为为参数sinycosx，则直线l与圆O的位置关系是．7.若二项式421x展开式的第4项的值为24，则nnxxxx32lim．8.已知双曲线的渐近线方程为xy，且右焦点与抛物线xy42的焦点重合，则这个双曲线的方程是____________.9.从4Nmmm，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则m．10.已知函数22222axlogaxxf的零点有且只有一个，则实数a的取值集合为．11.如图，在ABC中，3BAC，D为AB中点，P为CD上一点，且满足ABACtAP31，若ABC的面积为233，则AP的最小值为.12.已知数列,nnab满足111ab，对任何正整数n均有221nnnnnaabab，221nnnnnbabab，设113nnnncab，则数列nc的前2020项之和为.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x、y满足010yyxyx，则目标函数yxf2的最大值为()A．1B．2C．3D.414.如图，正方体ABCDDCBA1111中，E、F分别为棱AA1、BC上的点，在平面11AADD内且与平面DEF平行的直线()A．有一条B．有二条C．有无数条D.不存在15.已知函数xcosxcosxf.给出下列结论：①xf是周期函数；②函数xf图像的对称中心+,0)()2（kkZ；③若21xfxf，则Zkkxx21；④不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为Zk,kxkx8581.则正确结论的序号是()A．①②B．②③④C．①③④D.①②④16.设集合1,2,3,...,2020S，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为()A．711949B．7021949C．702371949D.702721949三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且BEBP，求异面直线FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为55210103、．（1）求cos的大小；（2）在ABC中，cba、、为三个内角CBA、、对应的边长，若已知角C，43Atan，且22cbca，求的值．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款fx（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型44xbfxx（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy中，1F，2F分别是椭圆22210xyaa：的左、右焦点，直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且2221AFAF.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线l经过椭圆的右焦点2F，,PQ是椭圆上两点，四边形ABPQ是菱形，求直线l的方程；（3）已知直线l不经过椭圆的右焦点2F，直线2AF，l，2BF的斜率依次成等差数列，求直线l在y轴上截距的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列na对任意连续三项12,,iiiaaa，均有2210iiiiaaaa，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：①等差数列：,,,,,54321；②等比数列：1618141211,,,,；（2）若数列na满足对任何正整数n，均有11nanaa10a.证明：数列na是跳跃数列的充分必要条件是101a.（3）跳跃数列na满足对任意正整数n均有21195nnaa，求首项1a的取值范围.浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集210,,U，集合10,A，则AUC2．2.某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为100．3.若函数21xxf，则11f1．4.若i1是关于x的方程02qpxx的一个根（其中i为虚数单位，Rq,p），则qp0．5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为81:．6.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数ttytx1，圆O的参数方程为为参数sinycosx，则直线l与圆O的位置关系是相交．7.若二项式421x展开式的第4项的值为24，则nnxxxx32lim51．8.已知双曲线的渐近线方程为xy，且右焦点与抛物线xy42的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222yx__________.9.从4Nmmm，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则m10．10.已知函数22222axlogaxxf的零点有且只有一个，则实数a的取值集合为{1}．11.如图，在ABC中，3BAC，D为AB中点，P为CD上一点，且满足ABACtAP31，若ABC的面积为233，则AP的最小值为2.12.已知数列,nnab满足111ab，对任何正整数n均有221nnnnnaabab，221nnnnnbabab，设113nnnncab，则数列nc的前2020项之和为.【解】112+2nnnnnnnababab，11122nnnnnnnababab，12333nnnnc，2021202033S二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x、y满足010yyxyx，则目标函数yxf2的最大值为(B)A．1B．2C．3D.414.如图，正方体ABCDDCBA1111中，E、F分别为棱AA1、BC上的点，在平面11AADD内且与平面DEF平行的直线(C)A．有一条B．有二条C．有无数条D.不存在16.已知函数xcosxcosxf.给出下列结论：①xf是周期函数；②函数xf图像的对称中心+,0)()2（kkZ；③若21xfxf，则Zkkxx21；④不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为Zk,kxkx8581.则正确结论的序号是(D)A．①②B．②③④C．①③④D.①②④16.设集合1,2,3,...,2020S，设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合S所有直径为71的子集的元素个数之和为(C)A．711949B．7021949C．702371949D.702721949三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且BEBP，求异面直线FP与CA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122rSEBC扇形．…………（4分）所以，38234hSV．………（7分）（2）如图所示，以点B为坐标原点建立空间直角坐标系．则200,,A，202,,F，020,,P，031,,C．所以，222,,FP，231,,AC.…………………（11分）设异面直线FP与CA所成的角为，则ACFPACFPcosxyz222222231222223212426.…………（13分）所以，异面直线FP与CA所成角为426arccos.…………（14分）18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角、的顶点与坐标原点重合，始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P、Q两点，若P、Q两点的横坐标分别为55210103、．（1）求cos的大小；（2）在ABC中，cba、、为三个内角CBA、、对应的边长，若已知角C，43Atan，且22cbca，求的值．【解答】（1）由已知31010255cos=sin=cos,sin101055，，…………(2分)因而310251052cos(+)=coscossinsin1051052…………（6分）（2）法一：（正弦定理）由已知，22,cos,sin422CCC………….(7分)324272sinsin()sin()4525210BACA…………(10分)222291sinsin1252=sinsin5722102acACb