实变函数与泛函分析基础(第三版)-----第三章-复习指导

1主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集.但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论.我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义3.2.3），为此，首先讨论了外测度的性质（定理3.1.1）.注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制.这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质.其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质.由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类.这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类.我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子.因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性.限于本书的篇幅而把它略去.读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nER，*mE都存在。（√）2、对任意nER，mE都存在。（×）3、设nER，则*mE可能小于零。（×）4、设AB，则**mAmB。（√）5、设AB，则**mAmB。（×）6、**11()nnnnmSmS。（×）7、**11()nnnnmSmS。（√）28、设E为nR中的可数集，则*0mE。（√）9、设Q为有理数集，则*0mQ。（√）10、设I为nR中的区间，则*mImII。（√）11、设I为nR中的无穷区间，则*mI。（√）12、设E为nR中的有界集，则*mE。（√）13、设E为nR中的无界集，则*mE。（×）14、E是可测集cE是可测集。（√）15、设{nS}是可测集列，则1nnS，1nnS都是可测集。（√）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（√）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（√）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（√）19、若E，则*0mE。（×）20、若E是无限集，且*0mE，则E是可数集。（×）21、若mE，则E必为无界集。（√）22、在nR中必存在测度为零的无界集。（√）23、若A，B都是可测集，AB且mAmB，则()0mBA。（×）24、和nR都是可测集，且0m，nmR。（√）25、设12,EE为可测集，则12()mEE12mEmE。（×）26、设12,EE为可测集，且12EE，则12()mEE12mEmE。（×）二、填空题1、若E是可数集，则*mE0；E为可测集；mE0。2、若12,,,nSSS为可测集，则1niimS小于或等于1niimS；若12,,,nSSS为两两不相交的可测集，则1niimS等于1niimS。33、设12,EE为可测集，则122()mEEmE大于或等于1mE；若还有2mE，则12()mEE大于或等于12mEmE。4、设12,EE为可测集，且12EE，2mE，则12()mEE等于12mEmE。5、设0x为E的内点，则*mE大于0。6、设P为康托三分集，则P为可测集，且mP0。7、m0，nmR+∞。8、叙述可测集与G型集的关系可测集必可表示成一个G型集与零测集的差集。9、叙述可测集与F型集的关系可测集必可表示成一个F型集与零测集的并集。三、证明题1、证明：若E有界，则*mE。证明：因为E有界，所以，存在一个有限区间I，使得EI，从而mEmII。2、证明：若*0mE，则E为可测集。证明：对任意AE，cBE，因为*0mE，可得*0mA，所以，*****()mBmABmAmBmB，从而***()mABmAmB，所以，E为可测集。3.设E为[0，1]中的全体有理数，则0*Em.（10分）证明因为E为可数集，记为,...},...,,{21nrrrE，对任意0，取,2,1,2,211nrrInnnnn，显然,1112*0,nnnnnnIEmIE所以,让ε→0得0*Em，从而E是可测集且0mE.证毕.4、证明：有理数集Q为可测集，且0mQ。4证明：因为有理数集Q可数集，从而0mQ，所以，Q为可测集，且0mQmQ。5、证明：若E，F都是可测集，且mE，EF，则()mFEmFmE；若mE，则上面的结论还是否成立。证明：因为()FFEE，且()FEE，所以，()mFmFEmE。又mE，所以，()mFEmFmE。若mE，则上面的结论不一定成立。6、若1R中的区间为可测集，则1R中的开集为可测集。证明：由1R中开集的结构得，1R中的开集或为空集，显然是可测集；或为至多可数个互不相交的开区间的并集，而区间是可测集，至多可数个可测集的并集还是可测集，所以，它还是可测集。综上所述，结论成立。7.证明对任意可测集合A和B都有()().mABmABmAmB证：因)(BABABA，又)(BABA，所以))(()(BABAmBAm又BBA，故)()(BAmmBBABm于是得)()(BAmmBmABAm.移项即证毕.8.证明Cantor集合的测度为零.证：设cantor集合C，并设A是[0,1]中被挖去的点的集合.A=2222121278(,)(,)(,)333333则AC]1,0[,由于A为互不相交的开区间的并，故为可测集，于是C亦为可测集.∵])32,31([])32,31([,1]1,0[22mAm2223122122[1()]1333333∴011]1,0[mAmmC.证毕9.设nRE，EAk且kA是可测集，,2,1k．若)(0)\(kAEmk，5证明E是可测集．证：令1kkAA，则EA．因为),2,1(kAk是可测集，所以A是可测集，又由)(0)\()\(0kAEmAEmk可知0)\(AEm．因此，AE\是可测集．而AAEE)\(，故E是可测集．10.设{}nE是[0,1]中的可测集列，若1nmE，1,2,n，证明：1()1nnmE．证明令[0,1]E，则0(mE1)(nnEmE1())CnnE1(())nnmEE1()nnmEE1()0nnmEmE．其中1mE，1nmE，∴1()0nnmEE，∴11()(())nnnnmEmEEE1()1nnmEmEE.