中考数学圆综合题汇编

25题汇编1.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，AD为弦，OC∥AD。（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OA=2，求OCAD的值。2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC（1）求证：直线AP是⊙O的切线；（2）若AC=3，求PD的长。DCBAOPDCBAO3.如图，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点E是⊙O上一点，点D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，连接OD、BE，且OD∥BE。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD=1，BC=4，求直径AB的长。4.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC。（1）求证：AB=AC；（2）若EF=4，23tanF，求DE的长。MNEDCBAOFEDCBAO5.在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=1，52BD，求AB的长。6.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分∠BAD。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若62AC，AD=4，求AB的长。EDCBAODCBAO7.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E。求证：（1）AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，32CD，求AE的长。8.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E。（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）求DE的长。EDCBAOOEDCBA9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=CA=6，半径为2的⊙F与射线BA相切于点G，且AG=4，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转135°后得到Rt△ADE，点B、C的对应点分别是点D、E。（1）求证：DE为⊙F的切线；（2）求出Rt△ADE的斜边AD被⊙F截得的弦PQ的长度。10.⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点E在AB弧上，点D在AC弧上，且AE弧等于CD弧，连接CE交AB于点F，连接BD交CE于点H，交AC于点G，连接AD。（1）求证：AF=CG；（2）若5:3:BFAF，AC=8，求AD的长。PQGFEDCBAHGOFEDCBA11.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE。（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长。12.如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，且PA=PD，⊙O为△APD的外接圆。（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为455，21tanDAC，求AC的长。GFEDCBAOPDCBAO13.如图，AC弧等于BC弧，D、E分别是半径OA，OB的中点，CE的延长线交⊙O于点F。（1）求证：CD=CE；（2）若CD=2，CF=5，求半径OA的长。14.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，连接OC，OC⊥AB，弦BD交OC于点E，CD=CE。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=13，BD=12，求DE的长。FEDCBAOEDCBAO15.如图，点A在射线ON上，半径为5的⊙A与射线OM相切于点B，交射线ON于点D（OAOD），将射线OM沿着射线ON翻折，得射线MO。（1）求证：MO为⊙A的切线；（2）点C在射线OM上，连CD，交⊙A于点E，若90MMO，71tanOCD，求弦DE的长。16.如图，∠ABC=30°，半径为3的⊙O与直线AB相切于点E，BE=1，将∠ABC沿着直线BC翻折，得到∠DBC。（1）求证：⊙O与BD相切；（2）点F与点E关于O点对称，过点F作GF∥BC，交射线BD于点G，求线段GF的长。GFEDCBAO17.如图，在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，将△ABC沿AC翻折，点B与D重合，O是CD上一点，OC=3，以O为圆心，OC为半径作⊙O，交CD于另一点E。（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）过点D作⊙O的另一条切线，切点为点M，连接MC并延长，交AB边于点N，求线段MN的长。18.如图，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且AB、CD位于圆心O的两侧，AB=8，CD=6，AB、CD之间的距离为7，连接OA、OC。（1）求⊙O的半径；（2）过点A作⊙O的切线，交DC的延长线于点E，求线段CE的长。EDCBAODCBAO19.如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为⊙O的弦，5AC，55sinABC，将△ABC沿AC折叠，得到△ADC，点E在AD边上，AE=1，连接CE。（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）作射线EO，交射线CB于点F，求BF的长。20.△如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A,B两点，点D在⊙O上，BD=BA,∠DAC=2∠ABC,⊙O交BC于点E,AD交BC于点F。（1）求证：AC为⊙O的切线。（2）若AB=3,AC=5,求BC长。EDCBAOEFCDBAO答案：1.解：（1）连接OD∵AB是⊙O的直径∴OA=OB=OD∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°∵OC∥AD，∴∠A=∠COB，∠ODA=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA∴∠COD=∠COB∵OC=OC，∴△COD≌△COB，∴∠ODC=∠OBC=90°∴DC是⊙O的切线。（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠OBC=90°，∵∠BOC=∠A，∴△BAD∽△COB∴OBADCOBA∴OBBACOAD∴OA=2，∴BA=2OA=4，OB=2∴8OBBACOAD2.（1）连接AO，则∠AOC=2∠B=120602∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA=302120180又∵PA=AC，∴∠P=∠ACP=30°又∵∠AOP=60120180∴906030180PAO∴OA⊥AP∴AP是⊙O的切线。（2）连AD，∵CD为直径，∴∠DAC=90°，∴33330tantanADACDACAD∴3AD又∵∠PAD=303060∴∠P=∠PAD，∴3PDAD3.（1）证明：连接OE，在⊙O中，OA=OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵OD∥BE，∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD又∵OA=OE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD，∴∠OAD=∠OED∵AM是⊙O的切线，切点为A，∴BA⊥AM，∴∠OAD=∠OED=90°，∴OE⊥DE∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线。（2）解：过点D作BC的垂线，垂足为H。∵BN切⊙O于点B，∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD∴四边形ABHD是矩形，∴AD=BH=1，AB=DH∴314BHBCCH∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，∴AD=ED=1，BC=CE=4，∴DC=DE+CE=1+4=5在Rt△DHC中，222CHDHDC，∴43522DHABDCBAOHMNEDCBAO4.（1）证明：连接BD，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴BD为⊙O的直径，∵BF与⊙O切于点B，∴∠OBF=90°，∴∠OBA+∠BAF=90°，∵∠DAB=90°，∴∠D+∠DBA=90°∴∠D=∠ABF∵∠D=∠C，∠ABC=∠ABF，∴∠C=∠ABC∴AB=AC（2）∵AD⊥AB，∴∠AEB+∠ABE=∠ABF+∠F，∵∠ABF=∠ABC，∴∠BEF=∠F，∴BE=BF∴AE=EF，∵EF=4，∴AF=2，∵∠BAF=90°，∴23tanAFABFAB=3∵∠DAB=∠BAF∠ABF=∠D，∴△ABF∽△ADB∴ABAFADAB323AD∴29AD∵AE=2，∴25AEADDE5.（1）证明：连接OD、AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴BD=DC又∵OB=OA，∴OD∥AC∴∠ODE=∠CED=90°，∴DE⊥OD∴DE是⊙O的切线。（2）解：∵∠CED=∠CDA=90°，又∵∠C=∠C，∴△CED∽△CDA∴CACDCDCE∴CACECD2∵52BDCD，∴)1()52(2CECE，∴CE=4∴AB=AC=5∴AB=5FEDCBAOEDCBAO6.（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD∴∠OCD=∠ADC，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线（2）解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠ADC=90°，∠1=∠3，∴cos∠1=cos∠3，即ACADABAC，∴ADACAB2把62AC，AD=4代入得，得AB=67.证明：（1）如图1，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=90°，∴∠OCD+∠ADC=180°，∴AD∥OC，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3即AC平分∠DAB（2）如图2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠B=60°，∴∠1=∠3=30°，在Rt△ACD中，32CD，∴342CDAC，在Rt△ABC中，34AC，∴830cos34cosCABACAB，连接OE，∵∠EAO=2∠3=60°，OA=OE，∴△AOE是等边三角形，∴421ABOAAE321DCBAO321EDCBAO321EDCBAO图1图28.解（1）连接OB、OD，在△ABO和△DBO中，ODOABOBODBAB，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥DC，∴∠BEC=90°，∴∠EBO=90°，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切线。（2）∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠BDE=∠CAB，∠ABC=∠BED=90°，∴△BED∽△CBA，∴ABDEACBD，∵BD=BA，AB=12，BC=5，∴1351222AC∴121312DE，∴13144DE9.（1）证明：过F点作FM⊥DE于M，则∠FME=90°，CB=CA，∠C=90°，∴∠BAC=45°，∵∠CAE=135°，∴∠CAE+∠BAC=180°，∴点B、A、E在一条直线上，连接FG，∵⊙F与射线BA相切于点G，∴FG⊥AE，∴∠FGE=90°，又∵∠AED=90°，∴四边形FGEM为矩形，∴FM=GE，∵AE=AC=6，AG=4，∴GE=2，∴FM=2，∴ED是⊙F的切线。（2）解：∵FG=2，FG=GE，∴四边形FGEM为正方形，连接EF并延长交PQ于点N，∵四边形FGEM为正方形，∴EF平分∠AED，∵△ADE为等腰直角三角形，∴EN⊥PQ∴PN=NQ，△AEN为等腰直角三角形，连接FP，由勾股定理得22EF，又∵AE=6，∴23EN∴2FN，在Rt△PFN中，PF=2，由勾股定理得2PN，∴22PQOEDCBANPQGFEDCBA10.（1）证明：∵弧AE等于弧CD，∴∠ACF=∠CBG，∵等边△ABC，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴△ACF≌△CBG，∴AF=CG。（2）过B作BK⊥AC，垂足为K，∵AC=8，∴AC=BC=8，∵5:3:BFAF，∴AF=CG=3，AG=BF=5∵BK⊥AC∴AK=CK=4，∴1CGCKGK，∵在Rt△BCK中，3422CKBCBK，∴在Rt△BGK中，722GKBKBG，∵∠D=∠BCG，∠BGC=∠AGD，∴△ADG∽△BGC，∴BGAGBCAD，758AD，∴740AD11.（1）证明：在⊙O中，∠A=∠D，