2020年天津市高考数学模拟试卷(4)

第1页（共17页）2020年天津市高考数学模拟试卷（4）一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|x﹣1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（﹣∞，1）∪[3，+∞）B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）2．（3分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（3分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（）A．1200B．1440C．7200D．120004．（3分）函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1𝑥+1)𝑒𝑥的部分图象大致是（）A．B．C．D．5．（3分）若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]第2页（共17页）C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）6．（3分）已知函数f（x）=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥)，设𝑎=𝑓(0.312)，𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31)，𝑐=𝑓(2𝑙𝑛2)，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．b＞a＞c7．（3分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(𝑥−5𝜋12)B．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−𝜋3)C．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−5𝜋6)D．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−5𝜋6)8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2√6B．4C．2√3D．29．（3分）对任意实数k∈（0，116），曲线y＝1+√𝑥与曲线y＝kx+lnx的交点共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）设a∈R，a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a＝．11．（3分）（1+ax2）（x﹣3）5的展开式中x7系数为2，则a的值为．12．（3分）在四面体ABCD中，△ABC和△ABD都是边长为2√2的等边三角形，该四面体的外接球表面积为12π，则该四面体ABCD的体积为．13．（3分）甲、乙两名枪手进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为45；乙第一次射击的命中率为78，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为34，如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为12．乙若射中，则不再继续射击．则甲三次射击命中次数5的期望为，乙射中的概率为．第3页（共17页）14．（3分）已知存在正数a，b使不等式√4𝑎𝑏+2𝑏22𝑎+3𝑏＞𝑙𝑜𝑔2(1−𝑥)成立，则x的取值范围．15．（3分）若△ABC中，AB=√2，BC＝8，∠B＝45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（𝐴𝐵→⋅𝐴𝐷→）⋅(𝐴𝐶→⋅𝐴𝐷→)=4，则AD长度的最小值为．三．解答题（共5小题，满分75分）16．（14分）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且𝑠𝑖𝑛𝐶−𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑏𝑎+𝑐，（1）求角C的大小；（2）若c＝3，求a+b的取值范围．17．（15分）已知ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体．（1）求异面直线BC1与B1D1所成的角．（2）求直线BC1与平面ABCD所成的角．（3）求二面角C1﹣BD﹣A的正切值．18．（15分）已知数列{an}的前n项和Sn=𝑛2+𝑛2．数列{bn}满足：b1＝b2＝2，bn+1bn＝2n+1（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）求∑𝑛𝑖=1𝑎𝑖(𝑏2𝑖−1−1𝑏2𝑖)(𝑛∈𝑁∗)．19．（15分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏3=1（a＞b＞0）过点（2√2，13），离心率为2√23．（1）求椭圆C的方程；（2）设D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线与椭圆C交于不同的两点M，N，再过点D作AM的垂线交BN于点E，求△BDE与△BDN的面积之比．第4页（共17页）20．（16分）已知函数G（x）＝ln（1+mx）﹣mx，g（x）＝ax2，其中0＜m≤1．（Ⅰ）当m＝1时，设f（x）＝G（x）﹣g（x），存在区间[𝑡1，𝑡2]⊆(0，13]，使得∀x1，x2∈[t1，t2]，都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数g（x）＝ax2的图象在（1，g（1））处的切线与直线x+y﹣1＝0平行，试讨论函数f（x）＝G（x）﹣g（x）的零点个数．第5页（共17页）2020年天津市高考数学模拟试卷（4）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．（3分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B＝{x|x﹣1≥0}，则∁R（A∩B）＝（）A．（﹣∞，1）∪[3，+∞）B．（﹣∞，1]∪[3，+∞）C．（﹣∞，1）∪（3，+∞）D．（1，3）【解答】解：∵A＝（﹣1，3），B＝[1，+∞），∴A∩B＝[1，3），∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，1）∪[3，+∞），故选：A．2．（3分）设a∈R，b∈R．则“a＞b”是“|a|＞|b|”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a＞b，取a＝1，b＝﹣2，则|a|＜|b|，则“a＞b”是“|a|＞|b|”不充分条件；若|a|＞|b|，取a＝﹣2，b＝1，则a＜b，则“|a|＞|b|”是‘a＞b”不必要条件；则a∈R，b∈R．“a＞b”是“|a|＞|b|”的既不充分也不必要条件，故选：D．3．（3分）某校数学兴趣小组对高二年级学生的期中考试数学成绩（满分100分）进行数据分析，将全部的分数按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图．若成绩在80分及以上的学生人数为360，估计该校高二年级学生人数约为（）A．1200B．1440C．7200D．12000第6页（共17页）【解答】解：由频率分布直方图得成绩在80分以上的频率为：1﹣（0.01+0.02+0.04）×10＝0.3，∴根据统计学的知识估计成绩在80分以上的人数约为：0.3×n＝360⇒n＝1200．故选：A．4．（3分）函数𝑓(𝑥)=(𝑥−1𝑥+1)𝑒𝑥的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x→﹣∞时，𝑒𝑥→0+，𝑥−1𝑥+1=1−2𝑥+1→1+，所以f（x）→0+，排除C，D；因为x→+∞时，𝑒𝑥→+∞，𝑥−1𝑥+1=1−2𝑥+1→1+，所以f（x）→+∞，因此排除B，故选：A．5．（3分）若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：根据题意，圆（x﹣a）2+y2＝2的圆心为（a，0），半径r=√2，圆心到直线x﹣y+1＝0的距离d=|𝑎+1|√2，若直线x﹣y+1＝0与圆（x﹣a）2+y2＝2有公共点，则必有d≤√2，即|𝑎+1|√2≤√2，变形可得：|a+1|≤2，解可得：﹣3≤x≤1，即a的取值范围为[﹣3，1]；故选：C．6．（3分）已知函数f（x）=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥)，设𝑎=𝑓(0.312)，𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31)，𝑐=𝑓(2𝑙𝑛2)，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞c＞aD．b＞a＞c第7页（共17页）【解答】解：函数f（x）=12(𝑒−𝑥−𝑒𝑥)，f（﹣x）=12(𝑒𝑥−𝑒−𝑥)=−f（x），∴f（x）为奇函数．∵y＝ex在R上为增函数，∴f（x）在R上为减函数．a＝f（0.312），𝑏=−𝑓(𝑙𝑜𝑔120.31)=𝑓(𝑙𝑜𝑔20.31)，c＝f（2ln2）＝f（ln4）．∵𝑙𝑜𝑔20.31＜0＜0.312＜1＜𝑙𝑛4，∴b＞a＞c．故选：D．7．（3分）已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式为（）A．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(𝑥−5𝜋12)B．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−𝜋3)C．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(2𝑥−5𝜋6)D．𝑓(𝑥)=2𝑐𝑜𝑠(3𝑥−5𝜋6)【解答】解：易知A＝2．34𝑇=5𝜋12−(−𝜋3)=3𝜋4，T＝π，∴𝜔=2𝜋𝜋=2．∴𝑐𝑜𝑠(2×512𝜋+𝜑)=1，∴56𝜋+𝜑=2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，又﹣π＜φ＜0，k＝0时，φ=−5𝜋6符合题意．故f（x）＝2cos（2x−5𝜋6）．故选：C．8．（3分）已知点A是抛物线y2＝4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1（b＞0）的一个交点，若抛物线的焦点为F，且|AF|＝4，则点A到双曲线两条渐近线的距离之和为（）A．2√6B．4C．2√3D．2【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F，且FA＝4，可得F（1，0），则A（3，±2√3），第8页（共17页）点A是抛物线y2＝4x与双曲线𝑥23−𝑦2𝑏2=1（b＞0）一个交点，a=√3，可得93−12𝑏2=1，解得b=√6，则渐近线方程为y＝±√2x，不妨令A（3，2√3），则点A到这两条渐近线的距离之和d=|3√2−2√3|√3+|3√2+2√3|√3=2√6，故选：A．9．（3分）对任意实数k∈（0，116），曲线y＝1+√𝑥与曲线y＝kx+lnx的交点共有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：y＝1+√𝑥与曲线y＝kx+lnx的交点即为：1+√𝑥=𝑘𝑥+𝑙𝑛𝑥根，即为𝑙𝑛𝑥=−𝑘𝑥+√𝑥+1的根，令m=√𝑥，则x＝m2，问题即转化为研究f（m）＝2lnm与g（m）＝﹣km2+m+1，（m＞0）的交点个数问题．g（m）的对称轴为𝑚=12𝑘＞8，开口向下，在（0，12𝑘）递增，在（12𝑘，+∞）上递减，且图象向右向下无限延伸．∴𝑔(𝑚)𝑚𝑎𝑥=𝑔(12𝑘)=1+14𝑘，𝑓(12𝑘)=2𝑙𝑛12𝑘，令t=12𝑘＞8，所以𝑔(12𝑘)−𝑓(12𝑘)=1+12𝑡−2𝑙𝑛𝑡，(𝑡＞8)令h（t）=1+12𝑡−2𝑙𝑛𝑡，t＞8．∵ℎ′(𝑡)=12−2𝑡=𝑡−42𝑡＞0，∴h（t）在（8，+∞）是增函数，∴h（t）＞h（8）＝5﹣2ln8＞0．∴𝑔(12𝑘)＞𝑓(12𝑘)，因此同一坐标系做出函数f（m），g（m）图象如下：所以两函数图象只有一个交点，即曲线y＝1+√𝑥与曲线y＝kx+lnx的交点共有1个．故选：B．第9页（共17页）二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）设a∈R，a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数（i为虚数单位），则a＝2．【解答】解：∵a2﹣a﹣2+（a+1）i为纯虚数，∴{𝑎2−𝑎−2=0𝑎+1≠0，解得a＝2．故答案为：2．11．（3分）（1+ax2）（x﹣3）5的展开式中x7系数为2，则a的值为2．【解答】解：∵（1+ax2）（x﹣3）5＝（1+ax2）（x5﹣15x4+90x3﹣