搜索
1第八章数学活动——再探二元一次方程（组）一．内容和内容解析1.内容二元一次方程的几何表示；二元一次方程组的解的几何意义；内容解析二元一次方程组活动课是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》七年级下册第八章末内容，是在学了平面直角坐标系、二元一次方程组知识的基础上设计的，本章知识的重点是让学生理解二元一次方程组，知道运用二元一次方程组的知识解决二元、三元一次方程组的实际问题。本活动的设计，有两个目的，一是引导学生认识二元一次方程的几何意义，从图形角度理解解二元一次方程组的本质——求两个二元一次方程的公共解，为一次函数的学习打下伏笔。二是引领学生进一步感受二元一次方程组在实际生活中的广泛应用，体会搜集数据资料、分析数量关系、编拟数学问题的乐趣，提高从数学的角度综合分析解决问题的能力，有利于发展学生数学应用意识，对学生数学思维训练、能力培养都有重要的作用。二．目标和目标解析1.目标（1）认识二元一次方程几何意义，学会从图形的角度理解解二元一次方程组的本质，会借助建立平面直角坐标系探求二元一次方程组的解；(2)通过数学活动，体验从实际问题抽象出数学问题；（3）通过经历探究的过程，培养学生观察、猜想、验证、归纳、概括的探究能力，感知从特殊到一般的认知方法，感受数形结合思想。获取一些研究问题的方法，发展思维能力。2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生能将二元一次方程的解转化为坐标，理解二元一次方程的图象是一条直线，直线上有无数个点对应着二元一次方程的无数个解。在同一直角坐标系画出二元一次方程组对应的两条直线，发现交点并结合交点坐标找到二元一次方程组的解；达成目标（2）的标志是：能够从文字材料中提取数学信息，用数学知识解决问题；达成目标（3）的标志是：学生经历探究过程，体会观察、猜想、验证、归纳、概括的研究方法，进一步感受数形结合思想和应用数学的意识。三．教学问题诊断分析教学对象是七年级学生，从认知方面看，在图形认识初步中了解了确定直线的条件，知道坐标平面上的点与有序实数对之间的对应关系，能够熟练地确定平面直角坐标系中点坐标，通过二元一次方程组的学习，知道二元一次方程的解的构成和不定性；能够熟练地运用加减法和代入法解二元一次方程组，但由于没有进行一次函数的学习，所以对于理解二元一次方程的几何意义，从形的角度理解二元一次方程组的解可能有一定的难度。从思维特征上看，七年级学生以感性思维为主，理性思维尚处于发展阶段，综合分析和解决问题能力相对较差，因此，数形结合的意识和能力有待提高，问题的解决也许稍费周折，因此，在开展活动时，应从关注具体点的几何意义出发，引导学生逐步实现由数到形的转型，同时应关注学生之间合作、交流，在充分的自主探究的基础上，通过合作交流达成共识。2教学重点：认识二元一次方程的几何表示，能从图形的角度理解二元一次方程组的解的几何意义。教学难点：用数形结合思想把二元一次方程方程转化成图形、能从图形的角度解释二元一次方程组解的情况。四．教学过程设计1.梳理旧知问题1如何把一个点在平面直角坐标系中表示出来.问题2一个二元一次方程有多少个解？问题3什么是二元一次方程组的解？通常用什么方法求解？师生活动：教师提问，学生口答设计意图：通过回忆平面直角坐标系中点的表示方法，为把二元一次方程的一个解转化成坐标做铺垫。后两个问题，从数的角度引导学生回忆二元一次方程和二元一次方程组的的解的代数意义。为几何意义的引入做铺垫。教师追问：以上的第一个问题貌似和后两个问题没有联系，那么今天我们就把它们结合起来研究。数学活动（一）2.提出问题问题1：二元一次方程x-y=0的一个解是一对未知数的取值，你能把它的一个解用一个点表示出来吗？师生活动：师课件展示生：①口答，例如把x的值作为点的横坐标，把y的值作为点的纵坐标，然后在坐标系中描点即可。师：请你在学案的表格中写出一些二元一次方程x-y=0的解，并在平面直角坐标系上标出以这些解为坐标的点，标出来之后，你有什么发现？师生活动：教师巡视，学生填表、讨论。②填写表格。教师追问（1）：过这些点中的任意两点作直线，你有什么发现？学生继续探究谈论教师追问（2）：在这条直线上任取一点，由它的坐标能得到二元一次方程x-y=0的解吗？你有什么猜想？学生继续探究讨论。设计意图：新的课程标准强调过程学习，强调学生探索新知的经历和获得新知的体验。在这个环节中，通过复习二元一次方程的解的特点为引入新课做好铺垫；引导学生在平面直角坐标系中，标出一些以方程x-y=0的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，让学生通过探究、讨论由数——形转化，让学生体会到二元一次方程的解是一条直线。追问2引导x…-3-2-10123…y……byax3学生由形——数转化，体会数形结合的思想，有利于让学生真正体会问题解决的过程，培养学生的创新精神。3.探究结论大胆猜想师生活动：师：小组代表展示，其他小组可补充或提出质疑。生：展示汇报交流结果师：完善、点拨，归纳。一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线；以一个二元一次方程的解为坐标的点都在在这条直线上；反之这条直线上任意一点的坐标都是这个这个二元一次方程的解。设计意图：让学生进行交流、讨论完善认知结构，让其经历数形结合这种思维历程，增长了学生的智慧，培养了学生良好的思维品质。教师以填空的形式让学生归纳结论，为学生明确思维的方向，培养学生归纳概括的能力。教师追问：既然一个二元一次方程的图象是一条直线，如何快速准确的画出它的图象？生回答：先确定两个解，在确定坐标——描点。教师用软件演示两点法画一元二次方程的图像。教师对活动1小结：二元一次方程：ax+by=c————平面直角坐标系中一条直线(a.b.c是常数a≠0b≠0)nymx方程的一个解————直线上一个点的坐标（m,n）4.巩固运用完成练习一（见学案和幻灯片）数学活动（二）二元一次方程组的解的几何意义1.探究活动：请你在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．你有什么新发现？师生活动：师：在各小组巡视，参与讨论，并指导有困难的学生进行观察、探究，引导学生归纳和质疑。生：小组合作讨论，探究方法，得到猜想，并去验证。一个小组派代表展示。设计意图：借用上一个探究活动得到的图象来深入探究，让探究活动自然而然延伸拓展，再次体会数形结合的思想。增强学生的动手能力、分析能力，通过探究得到了新的方法求二元一次方程组的解，同时培养了学生严谨认真的科学态度。2.归纳结论：二元一次方程组的解是两个二元一次方程组的______,在平面直角坐标系中就是两条直线的______,即两条直线的______。追问1：同一平面内两条直线的位置关系如何？生回答，教师关注学生能否回答出：相交和平行追问2：那么，在平面直角坐标系中如果画出的两条直线平行，又如何解释呢？生回答，教师关注回答。241xyxy，．4完善结论：当两条直线平行时，两条直线无交点，因此二元一次方程组______.设计意图：以填空的形式让学生归纳结论，为学生明确思维的方向，培养学生归纳概括的能力。3.巩固应用，完成练习二师生活动：师播放幻灯片，生口答设计意图：及时巩固二元一次方程组的解的几何意义，感受图象法的直观性和简捷性。数学活动（三）研究新闻材料，挖掘隐含信息1.由一段新闻视频引入有关吸烟的材料师：同学们，我们通过这段新闻报道，有什么感受？生回答.设计意图：新闻材料学生们非常熟悉，几乎每天都有接触。从学生熟悉的事情入手，更能帮助学生体会数学源于生活实际，同时指导生活。2.请一名同学朗读以下材料：一项统计资料显示，全世界每天平均有8000人死于与吸烟有关的疾病.我国吸烟者约3亿，占世界吸烟人数的四分之一.比较一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界其他国家约高0.1％.教师提问：读了上述材料，你获得什么信息，有什么感受？生回答。上述近100多字的材料，设计很多数据很多研究对象，读过之后，对吸烟的危害及我国的吸烟人数有了粗略了解，但对于提到的因吸烟引起的疾病的死亡人数很模糊，因此需要挖掘材料中的隐含信息，借助数学知识去解决，是数据更清晰。教师追问：我国及世界其他国家一年中死于因吸烟有关的疾病的人数分别是多少？（一年365天）师生活动：学生分小组讨论，教师巡视对有困难的学生给予帮助。设计意图：本活动是从新闻材料出发探究二元一次方程组的解决实际问题，。体现生活中处处有数学，数学对我们的生活影响巨大，学好数学很有必要。3.对于讨论出现困难的小组，教师继续追问：全世界吸烟人数是多少？世界其他国家人数是多少？教师引导学生用表格分析数据：吸烟人数（亿）平均每天死于与吸烟有关的疾病人数（人）死于与吸烟有关的人数占吸烟总数的百分比我国世界其他国家全世界师生活动：学生填表，按照题目信息需要求两个未知数，因此可以借助二元一次方程组求解。学生板书，教师指导。教师关注解方程过程中的简便解法。设计意图：引导学生借助表格整理信息，是数据之间的关系更加明确、清晰，在列二元一次方程组解决问题过程中，培养学生建模的能力。4.问：是否还有其他的方法解决上述问题？5.问：通过以上探究过程，我们还能得到哪些数据？师生活动：生回答。6.通过数据的分析，你有什么感受？设计意图：鼓励学生用不同的方法解决问题，让学生养成善于思考的好习惯，激发学习5兴趣。通过对其他数据的发散探究，得到吸烟有害健康的数字信息，起到更好的健康教育作用课堂小结：通过这节课，你有什么收获？你还有哪些疑问？师生活动：师引导，生发言设计意图：让学生总结本节课的主要内容和想法，提高学生的总结归纳能力和自我评价意识。感受数形结合思想在研究性学习中的重要作用。激发学生热爱数学，学好数学的信心！引导学生树立健康的生活心态。课后作业：1.用图像法解下列二元一次方程组3332032yxyxyxyx2.从报刊、新闻、网络等再搜集一些材料，分析其中的数量关系，编成问题.看看能否用所学的数学知识解决.设计意图：通过课后作业练习，对所学知识有所提升和巩固，同时让学生在课后延续探究气氛，鼓励学生搜集实际生活中相关资料，尝试用数学知识解决问题，让学生继续感受数学的魅力。五．目标检测设计①平面直角坐标系中,关于x、y的方程2x+by=1,ax+3y=-2的图像交于一点(3,1).则关于x、y的方程组的解为.此时a=,b=.②用图像法求方程组的解