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专题3反比例函数问题例题精讲例1.（北海中考）如图，反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD：OD=1：2，则k的值为________．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OBC的面积相等=𝑘2，∵△OAC的面积为5，∴△OBA的面积=5+𝑘2，∵AD：OD=1：2，∴OD：OA=2：3，∵DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴𝑆△𝑂𝐷𝐸𝑆△𝑂𝐴𝐵=（23）2，即𝑘25+𝑘2=49，解得：k=8．例2.（临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数y＝𝑘𝑥（k＞0，x＞0）的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点B的坐标为________．【解答】解：∵点A（3，2）在函数y＝𝑘𝑥（k＞0，x＞0）的图象上，∴k＝3×2＝6．∵⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切，点A的坐标为（3，2），且⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，∴点B的横坐标为1．∵点B在反比例函数y＝6𝑥的图象上，∴点B的坐标为（1，6）．故答案为：（1，6）．例3.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BE=4EC，且△ODE的面积是5，则k的值为________．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BE=4EC，∴E（a，15b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴a•15b=k，∴D（15a，b），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣12•15a•b﹣12•a•15b﹣12•（a﹣15a）•（b﹣15b）=1225ab=5，∴ab=12512，∴k=15ab=2512．故答案为2512．例4.（重庆中考）如图，直线y=12x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，点D在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=52，则k的值为________．【解答】∵点C在直线AB上，即在直线y=12x﹣2上，C的横坐标是2，∴代入得：y=12×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，∵CD∥y轴，S△OCD=52，∴12CD×OM=52，∴CD=12，∴MD=12﹣1=32，即D的坐标是（2，32），∵D在双曲线y=𝑘𝑥上，∴代入得：k=2×32=3．故答案为：3．例5.（宿迁中考）如图，已知点A是双曲线y=2𝑥在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=𝑘𝑥（k＜0）上运动，则k的值是________．【解答】解：∵双曲线y=2𝑥关于原点对称，∴点A与点B关于原点对称．∴OA=OB．连接OC，如图所示．∵△ABC是等边三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°．∴tan∠OAC=𝑂𝐶𝑂𝐴=√3．∴OC=√3OA．过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．∴△AEO∽△OFC．∴𝐴𝐸𝑂𝐹=𝐸𝑂𝐹𝐶=𝐴𝑂𝑂𝐶．∵OC=√3OA，∴OF=√3AE，FC=√3EO．设点A坐标为（a，b），∵点A在第一象限，∴AE=a，OE=b．∴OF=√3AE=√3a，FC=√3EO=√3b．∵点A在双曲线y=2𝑥上，∴ab=2．∴FC•OF=√3b•√3a=3ab=6设点C坐标为（x，y），∵点C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy=6．∴xy=﹣6．∵点C在双曲线y=𝑘𝑥上，∴k=xy=﹣6．故答案为：﹣6．习题精炼1.如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=90°,∠OAB=30°,反比例函数y1=mx的图象经过点A,反比例函数y2=nx的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是()A.m=-3nB.m=-√3nC.m=-√33nD.m=√33n2.下列图形中，阴影部分面积最大的是（）A.B.C.D.3.如图，等边△OAB的边OB在x轴的负半轴上，双曲线y=𝑘𝑥过OA的中点，已知等边三角形的边长是4，则该双曲线的表达式为（）A.y=√3𝑥B.y=-√3𝑥C.y=2√3𝑥D.y=-2√3𝑥4.如图，直线l与反比例函数y=𝑘𝑥在第一象限内的图象交于A、B两点，且与x轴的正半轴交于C点．若AB=2BC，△OAB的面积为8，则k的值为（）A.6B.9C.12D.185.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（65，115），则k的值为（）A.4B.6C.8D.106.如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点O重合．在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）中k的值的变化情况是（）A.一直增大B.一直减小C.先增大后减小D.先减小后增大7.如图，直线x=t（t＞0）与反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）、y=−1𝑥（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A.2B.3C.4D.58.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣6𝑥和y＝4𝑥的图象交于A，B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（）A.3B.4C.5D.109.如图，△OAB为等腰直角三角形，斜边OB边在x负半轴上，一次函数y=﹣17x+47与△OAB交于E、D两点，与x轴交于C点，反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）的图象的一支过E点，若S△AED=S△DOC，则k的值为（）A.-67B.-√3C.-3D.-410.如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，BC为⊙A的直径，点C在函数y=𝑘𝑥（k＞0，x＞0）的图象上，若△OAB的面积为3，则k的值为（）A.3B.6C.9D.1211.如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，𝑂𝐴𝑂𝐵=34．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=𝑘𝑥的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为27时，k的值是（）A.2B.3C.5D.712.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=3𝑥的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）A.2B.4C.2√2D.4√213.在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2与反比例函数𝑦=1𝑥的图象有唯一公共点，若直线y=﹣x+b与反比例函数𝑦=1𝑥的图象有2个公共点，则b的取值范围是（）A.b＞2B.﹣2＜b＜2C.b＞2或b＜﹣2D.b＜﹣214.如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数y=12𝑥的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是________．15.如图，A、B两点在双曲线y=4𝑥上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=________16.如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=𝑘𝑥在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是________．17.如图，反比例函数y=𝑘𝑥（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是________．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数𝑦=𝑘𝑥（k为常数，且k＞0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，直线EM与FN交于点C．若𝐵𝐸𝐵𝐹=1𝑚（m为大于l的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则𝑆1𝑆2=________．（用含m的代数式表示）19.如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，23），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，﹣2），则点F的坐标是________．20.如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平分线，分别于反比例函数y=4𝑥和y=2𝑥的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为________答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】过点B作BE⊥x轴于点E,过点A作AF⊥x轴于点F,设点B的坐标为(a,na),点A的坐标为(b,mb),则OE=-a,BE=na,OF=b,AF=mb,∵∠OAB=30°,∴OA=√3OB,∵∠BOE+∠OBE=90°,∠AOF+∠BOE=90°,∴∠OBE=∠AOF,又∵∠BEO=∠OFA=90°,∴△BOE∽△OAF,∴OEAF=BEOF=OBAO,即−amb=nab=1√3,解得:m=-√3ab,n=ab√3,故可得:m=-3n.故答案为：A.2.【答案】C【解析】【分析】分别根据反比例函数系数k的几何意义以及三角形面积求法以及梯形面积求法得出即可：A、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为：xy=3；B、根据反比例函数系数k的几何意义，阴影部分面积和为|xy|=3：C、如图，过点M作MA⊥x轴于点A，过点N作NB⊥x轴于点B，根据反比例函数系数k的几何意义，S△OAM=S△OAM=12|xy|=32，从而阴影部分面积和为梯形MABN的面积：12（1+3）×2=4。D、根据M，N点的坐标以及三角形面积求法得出，阴影部分面积为：12×1×6=3。综上所述，阴影部分面积最大的是C。故选C。3.【答案】B【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥OB于点D．∵△OAB是等边三角形，该等边三角形的边长是4，∴OA=4，∠COD=60°，又∵点C是边OA的中点，∴OC=2，∴OD=OC•cos60°=2×12=1，CD=OC•sin60°=2×√32=√3．∴C（﹣1，√3）．则√3=𝑘−1，解得，k=﹣√3，∴该双曲线的表达式为y=-√3𝑥．故选B．4.【答案】A【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，∵BE∥AD，∴△CBE∽△CAD，∴𝐵𝐸𝐴𝐷=𝐶𝐵𝐶𝐴，∵AB=2BC，∴CB：CA=1：3，∴𝐵𝐸𝐴𝐷=𝐶𝐵𝐶𝐴=13，∴AD=3BE，设B（t，𝑘𝑡），则A点坐标为（13t，3𝑘𝑡），∵S△AOD+S梯形ABED=S△AOB+S△BOE，而S△AOD=S△BOE，=12k，∴S△AOB=S梯形ABED=12（𝑘𝑡+3𝑘𝑡）•（t﹣13t）=8，解得，k=6．故选A．5.【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°，∵∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（AAS），∴AF=BE，DF=AE，∵正方形的边长为2，B（65，115），∴BE=65，AE=√22−(65)2=85，∴OF=OE+AE+AF=115+85+65=5，∴点D的坐标为（85，5），∵顶点