2021年广东省中考数学总复习第四章《三角形》第七节：解直角三角形的实际应用

2021年广东省中考数学总复习第四章《三角形》第七节解直角三角形的实际应用(8年3考，考则1道，4或7分)考点特训营玩转广东8年中考真题教材改编题返回目录第七节解直角三角形的实际应用考点特训营【对接教材】人教：九下第二十八章P74－P85；北师：九下第一章P19－P23.【课标要求】在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置；能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题．返回目录第七节解直角三角形的实际应用考点精讲仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角坡度(坡比)、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，i=tanx=hl返回目录第七节解直角三角形的实际应用方向角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标方向所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度，A点位于O点的北偏东30°方向，B点位于O点的南偏东60°方向，C点位于O点的北偏西45°方向(或西北方向)返回目录第七节解直角三角形的实际应用课堂小测1.如图，为了测量河岸A、B两点的距离，在与AB垂直的方向点C处测得AC＝a，∠ACB＝50°，则AB＝()A.asin50°B.atan50°C.acos50°D.2.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，则该物体离地面的高度为()A.5米B.5米C.2米D.4米50atan第1题图第2题图BC355返回目录第七节解直角三角形的实际应用3.如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是___________米．4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°的方向上，距离灯塔为2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B，则海轮航行的距离AB为________海里．第3题图第4题图100(1+3)1返回目录第七节解直角三角形的实际应用玩转广东8年中考真题解直角三角形的实际应用（8年3考）模型一背靠背型(在三角形内作高)基本图形模型分析等量关系通过在三角形内作高CD，构造两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD＋BD＝AB命题点返回目录第七节解直角三角形的实际应用1.(2019广东15题4分)如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是____________米(结果保留根号)．第1题图(15+153)3返回目录第七节解直角三角形的实际应用模型二母子型(在三角形外作高)基本图形模型分析通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键等量关系在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD＋DC＝AC返回目录第七节解直角三角形的实际应用2.(2014广东20题7分)如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，点B处测得树顶C的仰角为60°(A、B、D三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD的高度(结果精确到0.1m)．(参考数据：≈1.414，≈1.732)23第2题图返回目录第七节解直角三角形的实际应用在Rt△BCD中，∵sin∠CBD＝∴CD＝BC·sin∠CBD＝10·sin60°＝10×＝5≈5×1.732≈8.7m.答：这棵树CD的高度约为8.7m.CDBC，32解：由题意可知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝10m，∵∠CBD＝∠CAB＋∠BCA，∴∠BCA＝∠CBD－∠CAB＝60°－30°＝30°＝∠CAB，∴BC＝AB＝10m.返回目录第七节解直角三角形的实际应用3.(2012广东18题7分)如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα＝，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB.(结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)34第3题图返回目录第七节解直角三角形的实际应用∴BC＝x，∵CD＝BD－BC＝200，∴2x－x≈200，解得x≈300.答：小山岗的高AB约为300米．4343解：设AB＝x米，在Rt△ABD中，∠D＝26.6°，∴BD＝在Rt△ABC中，tanα＝ABtan∠ADB＝xtan26.6°≈2x，ABBC＝34，返回目录第七节解直角三角形的实际应用拓展训练4.(2016深圳20题8分)某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)第4题图返回目录第七节解直角三角形的实际应用解：如解图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BH⊥水平线于点H，第4题解图由题意得∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×＝16米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋16)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋16)×＝(8＋8)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋8)米．323331233返回目录第七节解直角三角形的实际应用教材改编题1.(人教九下P76例5)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远？(结果保留整数，参考数据：sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，sin34°≈0.559，cos34°≈0.829，tan34°≈0.675)教材母题第1题图返回目录第七节解直角三角形的实际应用解：在Rt△APC中，∠APC＝90°－65°＝25°，∴PC＝PA·cos∠APC≈80×0.906＝72.48.在Rt△BPC中，∠B＝34°，∴PB＝≈130(nmile)，答：B处距离灯塔P约有130nmile.PCsinB≈72.480.559返回目录第七节解直角三角形的实际应用对接中考2.(2019随州)在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；(2)若救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．第2题图返回目录第七节解直角三角形的实际应用解：(1)如解图，过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得PA＝120海里，∠A＝30°，∠BPC＝45°，∴PC＝PA＝60海里，△BCP是等腰直角三角形，∴BC＝PC＝60海里，PB＝PC＝60(海里)；∴收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；第2题解图12222返回目录第七节解直角三角形的实际应用(2)∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3(小时)，救助船B所用的时间为(小时)，∵3＞2，∴救助船B先到达．21204060230＝22第2题解图2