构造三角形中位线的方法

第1页，共3页构造三角形中位线的方法方法1连接两点构造三角形的中位线1.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF证明:连接、，和是等边三角形，，，，，即，在与中，，，、、分别是、、的中点，，，.方法2利用角平分线+垂直构造三角形的中位线2.已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于D，连DM．（1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长；（2）如图，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．第2页，共3页解：（1）如图，延长BD交AC于E，∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD=DE，AB=AE=12，∴CE=AC-AE=18-12=6，又∵M为△ABC的边BC的中点，∴DM是△BCE的中位线，∴MD=1/2CE=3（2）延长BD交CA的延长线于E，∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD，∴BD=DE，AB=AE=12，∴CE=AC+AE=18+12=30，又∵M为△ABC的边BC的中点，∴DM是△BCE的中位线，∴MD=1/2CE=15．3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,D为△ABC外一点,使∠DAC=∠BAC,E为BD的中点,∠ABC=60∘，求∠ACE的度数。解：延长AD、BC交于F.∵在△ABC与△ACF中，∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠ACB=∠ACF=90∘，∴△ABC≌△ACF(ASA)，∴BC=FC,∠F=∠ABC=60∘，∴∠CAF=30∘，∵E为BD的中点，∴EC∥AF，∴∠ACE=∠CAF=30∘.方法3倍长法构造三角形的中位线4.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，△BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝90°，M为AF的中点，求证：CFME21.证明：如图，延长EF到D，使DE=EF，连接AD、BD，∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°，第3页，共3页∴∠BFE=45°，BE⊥DF，∴BE垂直平分DF，∴∠BDE=45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=BF，∠DBF=90°，∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，∠ABD+∠ABF=∠DBF=90°，∴∠CBF=∠ABD，在△ABD和△CBF中，AB=BC∠CBF=∠ABDBD=BF∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD=CF，∵M为AF的中点，DE=EF，∴ME是△ADF的中位线，∴ME=1/2AD，∴ME=1/2CF．方法4已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线5.如图，在四边形ABCD中，M,N分别为AD,BC的中点，连BD,若AB=10，CD=8.求MN的取值范围.解:作BD中点E，连接ME、NE。∵M,N分别为AD,BCc的中点∴ME=1/2AB=5NE=1/2CD=4∵ME-NEMN≤ME+MN∴1MN≤96.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：ACAN31.证明：作DM∥BN交AC于M，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，又DM∥BN，∴NM=MC，∵点P是AD的中点，DM∥BN，∴AN=NM，∴AN=NM=MC，即AN=1/3AC．