2020届江苏省扬州市高三第四次模拟考试：数学模拟试卷(有答案)

_.....__....._ReadxIfx≤5Theny←10xElsey←2.5x+5EndIfPrinty扬州市高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}Axx，Z是整数集，则AZ▲．2．若复数z满足1izi（i为虚数单位），则z▲．3．命题“2,10xRxx”的否定▲．4．已知ABC中，21,2,3abC，则边c的长度为▲．5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是20，则输入的x值是▲．6．在区间]2,1[内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是▲．7．在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，且3,2,1PAPBPC，则三棱锥PABC的体积为▲．8．已知tan2且为锐角，则cos2▲．9．在平面直角坐标系xOy中，如果直线l将圆22420xyxy平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取值范围是▲．10．已知等边ABC中，若1()3APABAC，AQAPtAB，且APAQ，则实数t的值为▲．11．设双曲线)0,0(12222babyax的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如果PQF是等边三角形，则双曲线的离心率是▲．12．设函数2log()(0)()2(0)xxxfxx，若关于x的方程2()()0fxafx恰有三个不同的实数解，则实数a的取值范围为▲．13．已知数列{}na是各项均不为零的等差数列，nS为其前n项和，且21nnaS（nΝ）．若不等式2016nnSa对任意nΝ恒成立，则实数的最小值为▲．（第5题图）_.....__....._14．已知函数32()fxaxbxcxd在O、A两点处取得极值，其中O是坐标原点，A在曲线2sin([,])33yxxx上，则曲线()yfx的切线斜率的最大值为▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2ax，(1,cos())2bx(0,0)4，记函数()()()fxabab．若函数()yfx的周期为4，且经过点1(1,)2M．（1）求的值；（2）当11x时，求函数()fx的最值．16．（本小题满分14分）在三棱锥P－SBC中，A，D分别为边SB，SC的中点，且3,8,5.ABBCCDPA⊥BC．（1）求证：平面PSB平面ABCD；（2）若平面PAD平面PBCl，求证：//lBC．PSDCBA17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m元（其中m为常数，且36m）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x元/百支（3540x），根据市场调查，日销售量与xe成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m最多为多少元？（精确到0.1元）（第16题图）_.....__....._18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)xyabab的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M的直线分别交x轴、y轴于A、B两点上，且满足13AMAB．（1）求证：线段AB的长是一定值；（2）若点N是点M关于原点的对称点，一过原点O且与直线AB平行的直线与椭圆交于P、Q两点（如图），求四边形MPNQ面积的最大值，并求出此时直线MN的斜率．19．（本小题满分16分）数列{}na是公差为d(0)d的等差数列，它的前n项和记为nA，数列{}nb是公比为q(1)q的等比数列，它的前n项和记为nB．若110ab，且存在不小于3的正整数,km，使kmab．（1）若11a，2d，3q，4m，求kA．（2）若11a，2d，试比较2kA与2mB的大小，并说明理由；（3）若2q，是否存在整数,mk，使86kmAB，若存在，求出,mk的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）yQPNMBAOx（第18题图）_.....__....._已知函数()fx1ln,axaxR．（1）求函数()fx的单调递减区间；（2）当1,2x时，()fx的最小值是0，求实数a的值；（3）试问过点(02)P，可作多少条直线与曲线()yfx相切？并说明理由．_.....__....._扬州市高三第四次模拟测试数学试题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B）．（本小题满分10分）已知矩阵21aAb，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为11，求该矩阵的另一个特征值．21（C）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为12xtyat（t为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合）中，圆C的方程为4cos．若直线l被圆C截得的弦长为11，求实数a的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下：甲班101215182436乙班121622262838_.....__....._如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X，写出X的分布列和数学期望()EX．23．（本小题满分10分）已知*0()()nkknnkfxCxnN．（1）若456()()2()3()gxfxfxfx，求)(xg中含4x项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3nmmmmmnmnmnCCCnCCm．_.....__....._高三第四次模拟测试数学试题Ⅰ参考答案一、填空题1．{0,1}2．1i3．“2,10xRxx”4．75．2或66．237．18．359．1[0,]210．2311．212．[1,)13．1201714．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin()cos()cos(2)22fxabababxxx………………………4分由题意得：周期24T，故2……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M，1cos(2)22即1sin22，而04，故26，则()cos()26fxx．……………………10分当11x时，23263x1cos()1226x当13x时，min()1fx，当1x时，max1()2fx．……………………14分16．证：（1）A，D分别为边SB，SC的中点，且8BC//ADBC且4AD3,ABSA5CDSD222SAADSD90SAD即SAADBCSB……………………3分PABC，PASBA，PA、SB平面PSBBC平面PSBBC平面ABCD∴平面PSB平面ABCD……………………7分（2）//ADBC，AD平面PAD，BC平面PAD//BC平面PAD……………………10分BC平面PBC，平面PAD平面PBCl//lBC……………………14分17．解：（1）设日销量为xke，则401000ke401000ke．则日售量为401000xee日利润401000(30)xeyxme．即401000(30)xexmye，其中3540x．………………3分令'0y得31xm．①当34m时，343135m当3540x时，'0y．当35x时，y取最大值，最大值为51000(5)me．………………5分②当46m时，353137m，函数y在[35,31]m上单调递增，在[31,40]m上单调递减．当31xm时，y取最大值91000me．………………7分_.....__....._当34m时，35x时，日利润最大值为51000(5)me元当46m时，31xm时，日利润最大值为91000me元．………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xexme对[35,40]x恒成立………………10分则4030xemxe对[35,40]x恒成立设40()30xehxxe，[35,40]x404040'()1xxeeehxee则()hx在[35,40]上单调增，则min51()(35)5hxhe，即515me5.0∴每百支水笔的加工费m最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m最多约为4.9元．………………14分18．解：（1）由题意得：2432acea，则23ac1b椭圆方程为：2214xy……………………3分设00(,)Mxy，则220014xy13AMAB且A、B分别在x轴、y轴上003(,0),(0,3)2AxBy222220000999()944xABxyy3AB为定值……………………7分（2）方法（一）设11(,)Pxy//ABPQ002PQABykkx，220044xy则直线PQ的方程为：002yyxx…………………9分∵0022214yyxxxy22012200220122004161616xxxyyyxy2222002222000041664441616xyPQOPxyxy点M到直线00:20PQyxxy的距离：0000002200|2||3|24xyxyxydyx………12分22220000002222220000003||(44)182212122216441616四边形MPQMPNQxyxyyySSPQdxyyyxy4200201231yyy，令2031,1tyt，则242002011()14133(5)3199ttyytytt当且仅当2t时，取等号；即20312y时，max()4四边形MPNQS，此时220018,33yx24MNk………16分方法（二）设直线MN的斜率为k，则003232PQABykkkx，则直线MN方程为ykx，直线PQ方程为2ykx，…………………9分_.....__....._解方程组22,1,4ykxxy2214Mxk，用2k代k得，22116Pxk，由椭圆的对称性知222002221||MMNOMxykx，点P到直线MN的距离222|||(2)|3||111pppppkxykxkxkxdkkk，………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ的面积1226||||2PMNMPSSMNdxkx＝22222222224||24