3.3-几何概型

高中数学必修3复习古典概型的两个基本特点:那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如何求呢?（1）所有的基本事件只有有限个;（2）每个基本事件发生都是等可能的.问题1取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率有多大？3m（1）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m的绳子上的任意一点.问题情境问题2：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？（1）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点.（3）符合古典概型的特点吗？问题3有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生物的概率.（1）试验中的基本事件是什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3）符合古典概型的特点吗？微生物出现的每一个位置都是一个基本事件,微生物出现位置可以是1升水中的任意一点.对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.几何概型的特点:(1)基本事件有无限多个;(2)基本事件发生是等可能的.建构数学如何求几何概型的概率？P(A)＝22112.240.0111224ππ3m1m1mP(B)＝31P(C)＝1.011.0.D的测度d的测度P(A)一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率:注:(2)D的测度不为0,当D分别是线段、平面图形、立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积.（1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；（3）区域应指“开区域”，不包含边界点；在区域D内随机取点是指：该点落在D内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关．例1两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.数学应用解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时，事件A发生，于是4182事件A发生的概率P（A）＝＝例2取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a事件A,记“豆子落在圆内”为:解.4π豆子落入圆内的概率为:答4π4aπa正方形面积圆的面积P(A)22数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率．().mPAn由此可得4πmn如果向正方形内撒n颗豆子，其中落在圆内的豆子数为m，那么当n很大时，比值，即频率应接近于P(A)，于是有mn2.在1L高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?解取出10mL种子,其中“含有病种子”这一事件高为A，则P(A)=1001100010所有种子的体积取出种子的体积答:含有麦锈病种子的概率为0.01．1.在数轴上，设点x∈[-3,3]中按均匀分布出现，记a∈(-1,2]为事件A，则P（A）=（）A．1B．0C．1/2D．1/3C023-3-1练一练3.在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少?4.如右下图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.5：在正方形ABCD内随机取一点P，求∠APB＞90°的概率．BCADP22()2()1π2adPADa的测度解：的测度.π8∠APB＝90°？.00)(2aDdBP的测度的测度概率为0的事件可能发生！回顾小结1.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式.3.几何概型问题的概率的求解.P(A)=构成事件A的区域测度（长度、面积、体积等）试验的全部结果所构成的区域测度（长度、面积、体积等）高中数学必修3几何概型的概念对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域D内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域d中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等；用这样的方法处理随机试验，称为几何概型.1.古典概型与几何概型的对比.不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型的概率公式..、体积)D的测度(长度、面积、体积)d的测度(长度、面积P(A)相同：两者基本事件的发生都是等可能的；复习与长度有关的几何概型：有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段不小于3米的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件,基本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.思维启迪解记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的两端各度量出3米,这样中间就有10－3－3＝4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以.4.0104103310)(AP探究提高从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这样的概率模型就可以用几何概型来求解.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平抛在这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.B.C.D.41312132.31PB解析如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故所求概率为例1.在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?这一事件记为A.则其中“含有病种子”取出10ml麦种,:解.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)例题讲解与面积(或体积)有关的几何概型变式训练1.街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为1cm的小圆板.规则如下：每掷一次交5角钱,若小圆板压在正方形的边上,可重掷一次；若掷在正方形内,须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上,可获1元钱.试问：(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？思维启迪的测度的测度Dd应用几何概型的概率计算公式P(A)＝即可解决此类问题.(2)考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内,因正方形有四个顶点,所以概率为解(1)考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7cm和9cm的正方形围成的区域内,所以概率为探究提高.8132979222.ππ819241几何概型的概率计算公式中的“测度”,既包含本例中的面积,也可以包含线段的长度、体积等,而且这个“测度”只与“大小”有关,而与形状和位置无关.知能迁移2在边长为2的正△ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是解析以A，B，C为圆心,以1为半径作圆,与△ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求..6π3243)13π21(322P6π3例2在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率．C′ACBM解：在AB上截取AC′＝AC，故AM＜AC的概率等于AM＜AC的概率．记事件A为“AM小于AC”，222)(ACACABCAABACAP答：AM＜AC的概率等于22与角度有关的几何概型思考：在等腰直角三角形ABC中，过点C在∠C内作射线CM，交AB于M，求AM小于AC的概率．此时的测度是作射线是均匀的，就成了角的比较了．P（A）＝C′ACBM'3π38π42ACCACBdD变式训练在Rt△ABC中,∠A＝30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求使|AM|＞|AC|的概率.思维启迪如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处,使|AM||AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合几何概型的条件.可化为几何概型的概率问题例4甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.思维启迪在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任一点的坐标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会面的时间由|x-y|≤15所对应的图中阴影部分表示.以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：所以,两人能会面的概率是.167600302526003604560)(222SSAPA.167探究提高(1)甲、乙两人都是在6～7时内的任意时刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中正方形内的任一点.(2)找出事件A发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.(3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积型几何概型的问题.变式训练：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.解(1)设甲、乙两船到达时间分别为x，y,则0≤x＜24,0≤y＜24且y－x≥4或y－x≤－4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A,44,240,240xyxyyx或.362524242020212)(AP则(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y≥2或y-x≥4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域.)(.,,288221576442242422222120202124240240BPyxxyyx或1．适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；2．把基本事件转化为与之对应的区域D；3．把随机事件A转化为与之对应的区域d；4．利用几何概型概率公式计算．总结：几何概型问题的概率的求解方法