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2021年广东省中考数学总复习题型十与三角形或四边形有关的证明与计算题型十与三角形或四边形有关的证明与计算类型一与三角形有关的证明与计算[2019.22(1),2016.21]1.(2019重庆B卷)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数；(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.第1题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)解：∵∠C＝42°，AD⊥BC，∴∠CAD＝48°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝48°；(2)证明：∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD.∴∠BAD＝∠CAD＝∠F.∴AE＝FE.题型十与三角形或四边形有关的证明与计算2.(2019温州)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．第2题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE与△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS)；(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3.∠BED＝∠CFD,∠EBD＝∠FCD,BD＝CD,题型十与三角形或四边形有关的证明与计算3.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.(1)求证：△ACB∽△DCE；(2)求DF的长．第3题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵＝，＝＝，∴＝.又∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴△ACB∽△DCE；ACDC32BCEC6432ACDCBCCE(2)解：在Rt△ABC中，AB＝＝，在Rt△CDE中，DE＝＝.∵△ACB∽△DCE，∴∠ABC＝∠DEC.又∵∠BAC＝∠EAF，∴△ABC∽△AEF.∴＝.即＝.解得EF＝.∴DF＝EF－DE＝.2236＋352224＋25BCEFABAE6EF3571455455题型十与三角形或四边形有关的证明与计算4.(2019凉山州)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M.连接CM交DB于N.(1)求证：BD2＝AD·CD；(2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长．第4题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵BD平分∠ADC，∴∠ADB＝∠BDC.∵∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△DAB∽△DBC.∴＝.∴BD2＝AD·CD；BDCDADBD题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：由(1)知BD2＝AD·CD，∵CD＝6，AD＝8，∴BD＝.在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝＝＝.∵BM∥CD，∴∠MBD＝∠CDB＝∠ADB.∴DM＝BM.∵∠ADB＋∠A＝∠MBD＋∠MBA＝90°，∴∠A＝∠MBA.∴AM＝BM＝DM＝AD＝4.4322BDCD－4836－2312题型十与三角形或四边形有关的证明与计算∵BM∥CD，∴∠MBC＝∠BCD＝90°.∴在Rt△MBC中，由勾股定理得CM＝＝＝，∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND.∴＝，即＝.解得MN＝.22BMBC＋1612＋27MNCNBMCD27MNMN－46475题型十与三角形或四边形有关的证明与计算类型二与四边形有关的证明与计算（2018.22,2017.21,2015.21,2013.22,2015.15、21）1.(2019内江)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE、AF、EF.(1)求证：△ABE≌△ADF;(2)若AE＝5，请求出EF的长．第1题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°.∴∠B＝∠ADF＝90°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF；(2)解：∵△ABE≌△ADF，∴AF＝AE＝5，∠DAF＝∠BAE.∴∠FAE＝∠BAD＝90°.∴EF＝＝.2255＋52题型十与三角形或四边形有关的证明与计算2.(2019北京)如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF.(1)求证：AC⊥EF；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O.若BD＝4，tanG＝，求AO的长．12第2题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC.∵AB＝AD，BE＝DF，∴AB－BE＝AD－DF，即AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形．又∵∠BAC＝∠DAC，∴AC⊥EF；题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：如解图，过连BD，延长EF交CD的延长线于点G.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，OB＝BD＝×4＝2.∴∠G＝∠AEG.由(1)知EF⊥AC.又∵BD⊥AC.∴EF∥BD.∴∠AEG＝∠ABO.∴∠G＝∠ABO.∵tanG＝，∴tan∠ABO＝＝.∴AO＝OB·tan∠ABO＝2×＝1.1212121212AOOB第2题解图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算3.(2019青岛)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．第3题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD.∴BE＝DF.∴△ABE≌△CDF(SAS)；1212题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：当AB＝AC时，四边形EGCF是矩形．理由：∵AB＝AC，AO＝OC，∴AB＝AO.∵BE＝OE，∴AE⊥BO.∴∠FEG＝90°.由(1)得△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF.∵∠AEB＝∠FEG，∴∠CFD＝∠FEG.∴EG∥FC.∵AE＝CF，EG＝AE，∴EG＝CF.∴四边形EGCF是平行四边形．又∵∠FEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．1212题型十与三角形或四边形有关的证明与计算4.(2019梧州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F，连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H.(1)求DE的长；(2)求证：∠1＝∠DFC.第4题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)解：如解图，过E作EM⊥AC，垂足为M.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°，AC＝＝＝5.∵EM⊥AC，∴∠AME＝90°.∵AF平分∠DAC，∠AME＝∠ADE＝90°，∴DE＝EM.∵S△ADE＋S△AEC＝S△ADC，∴DE×3＋DE×5＝×3×4，解得DE＝；22ABBC＋2243＋12121232第4题解图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥FB，∴△ADE∽△FC，△ADG∽△HBG.∴＝，＝.∵AH∥DF，∴四边形AHFD是平行四边形，∠DFC＝∠AHB.∴FH＝AD＝BC.∵FC＝FH＋HC，HB＝BC＋CH，∴FC＝HB.∴＝＝＝.∴EG∥FH.∴∠1＝∠AHB，∴∠1＝∠DFC.AEFEADFCADHBAGHGAEFEADFCADHBAGHG题型十与三角形或四边形有关的证明与计算类型三与折叠有关的证明与计算（2018.22,2015.21,2012.21）1.将边长为10的正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与BC边交于点G.(1)求证：AM＝EF；(2)当DM＝6时，求EF的长．第1题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：由折叠的性质得：∠AEF＝∠MEF，EF⊥AM，AE＝ME，∴∠EAM＝∠EMA，∠EAM＋∠AEF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝10，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠EAM＋∠MAB＝90°，∴∠MAB＝∠AEF，如解图，过点M作MN⊥AB于点N，过点F作FH⊥AD于点H，则MN＝AD，FH＝AB，∴MN＝FH，在△AMN和△EFH中，∴△AMN≌△EFH(AAS)，∴AM＝EF；∠MAN＝∠HEF,∠ANM＝∠EHF,MN＝HF第1题解图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：在Rt△ADM中，根据勾股定理得：AM＝＝＝，则EF＝AM＝.22ADDM＋22106＋234234题型十与三角形或四边形有关的证明与计算2.(2019徐州)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF.求证：(1)∠ECB＝∠FCG；(2)△EBC≌△FGC.第2题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD.由折叠性质知∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG.∴∠BCD－∠ECF＝∠ECG－∠ECF.∴∠ECB＝∠FCG；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC，由折叠的性质可得∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG.在△EBC和△FGC中，∴△EBC≌△FGC(ASA)．∠ECB＝∠FCG,BC＝CG,∠EBC＝∠FGC题型十与三角形或四边形有关的证明与计算3.(2019滨州)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．第3题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：由折叠可知△FBE≌△CBE，EF＝EC，FG＝GC，∠FEG＝∠CEG，∵FG∥CD，∴∠FGE＝∠GEC，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝FG，∴FG＝GC＝CE＝EF，∴四边形CEFG是菱形；题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：在矩形ABCD中，∵AB＝6，AD＝10，∴BC＝BF＝10，在Rt△ABF中，AB＝6，BF＝10，∴AF＝8，∴FD＝AD－AF＝2，设CE＝x，则EF＝x，DE＝6－x，在Rt△FED中，有FD2＋ED2＝EF2，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝.∴S四边形CEFG＝CE·FD＝×2＝.103103203题型十与三角形或四边形有关的证明与计算4.在矩形ABCD中，AB＝10，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F.(1)求证：BP＝BF；(2)当BP＝8时，求BE·EF的值．第4题图题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(1)证明：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，∴∠PGC＝∠PBC＝90°，∠BPC＝∠GPC，∵BE⊥CG，∴BE∥GP，∴∠GPF＝∠PFB，∴∠BPF＝∠PFB，∴BP＝BF；题型十与三角形或四边形有关的证明与计算(2)解：如解图，连接GF，∵BP＝BF，BP＝PG，∴BF＝PG，∵BF∥PG，∴四边形BPGF是平行四边形，GF＝BP，GF∥BP，∴∠GFE＝∠ABE，∴△GEF∽△EAB，∴＝，∴BE·EF＝AB·GF＝10×8＝80.EFABGFBE第4题解图