沪科版八年级数学上册期末复习-三角形

1沪科版八年级数学上册期末复习2一、三角形1、三角形的分类：（1）按边分类：（2）按角分类：不等边三角形直角三角形三角形三角形锐角三角形等腰三角形（等边三角形是特例）斜三角形钝角三角形2、三角形三边的关系：三角形中任何两边的和大于第三边；任何两边的差小于第三边.3、三角形内角和定理、外角及其推论：（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.（2）推论1：直角三角形的两个锐角互余.（3）三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形的外角与它相邻的内角互补.（4）推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（5）推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.4、三角形中的重要线段（1）在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高.注意：①一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高，并且它们都是线段；②三角形的三条中线、三条角平分线都在三角形内部，且交于一点；而三角形的高未必在三角形内部.5、命题（1）凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题.（2）命题分为真命题和假命题.（3）命题的组成：每个命题都由条件和结论两部分组成.（4）几何推理中，把那些从长期实践中总结出来，不需要再作证明的真命题叫做公理.如：经过两点，有且只有一条直线；两点之间，线段最短；两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.（5）正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.如：对顶角相等；内错角相等，两直线平行；在平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行.二、全等三角形1、能够完全重合的两个图形，叫做全等形；能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形.2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应的角平分线分别相等；全等三角形的周长相等，面积相等.注：用全等符号“≌”表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上.23、全等三角形的判定（1）“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）在△ABC和△DEF中，∵ABDEBEBCEF∴△ABC≌△DEF（2）“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）在△ABC和△DEF中，∵BEBCEFCF∴△ABC≌△DEF（3）“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）在△ABC和△DEF中，∵BECFABDE∴△ABC≌△DEF（4）“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）在△ABC和△DEF中，∵ABDEBCEFACDF∴△ABC≌△DEF另外，判定两个直角三角形全等还有另一种方法.（5）“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（HL）在Rt△ABC和Rt△DEF中，∵ABDEACDF∴Rt△ABC≌Rt△DEF三、轴对称图形1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称.这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点.EFDACBEFDACBEFDACBEFDACBABCDEF33、轴对称性质与判定：（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段.（2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.4、轴对称和轴对称图形的区别与联系四、线段的垂直平分线1、经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线.2、线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等.3、线段垂直平分线的判定定理：与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.4、三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.五、等腰三角形1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等.简称“等边对等角”.（2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一）3、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等.简称“等角对等边”.4六、等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形.2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等，每一个内角等于60°.3、判定：（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形.（2）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.（3）推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.七、直角三角形含30°角的直角三角形性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.八、角平分线1、性质定理：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.2、判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.3、三角形三条角平分线的性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等.【考点习题】一、选择题1、三角形的三边分别为3，a21，8，则a的取值范围是（）A．36aB．5a或2aC．52aD．25a2、如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且ABCS＝4cm2，则阴影S等于()A．2cm2B．1cm2C．21cm2D．41cm23、如图，a∥b，∠1＝65°，∠2＝140°，则∠3＝（）A、100°B、105°C、110°D、115°（第2题）（第3题）4、若△ABC的三个内角满足关系式∠B＋∠C=3∠A，则这个三角形（）A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形5、下列命题中正确的是（）A．三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形B．等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角5C．三角形外角一定是钝角D．△ABC中，如果∠A∠B∠C，那么∠A60°，∠C60°6、如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，那么补充一个条件后，仍无法判断△ABE≌△ACD的是（）A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC（第6题）（第7题）（第8题）7、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个8、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F.若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是（）A.4B.3C.6D.59、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两狐相交于点M、N，直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A.65°B.60°C.55°D.45°（第9题）（第10题）10、如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，∠CBA的邻补角的平分线所在直线交AC的延长线于F，交斜边AB上的高CD的延长线于E，EG∥AC交AB的延长线于G，则下列结论：①CF＝CE；②GE＝CF；③EF是CG的垂直平分线；④BC＝BG，其中正确的是()A．①②③④B．①③④C．②③④D．①②二、填空题11、等腰△ABC中，AB=AC，AC边的中线BD将△ABC的周长分成长12cm和9cm的两段，则等腰△ABC的腰长为.12、已知△ABC中，∠A比它的外角小10°，则∠B+∠C=.13、如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是______.6（第13题）（第14题）14、如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，OC，以下四个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.一定成立的结论有___________.三、解答题15、按要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写出作法和证明.）如图，已知∠AOB和线段MN，求作点P，使P点到M、N的距离相等，且到角的两边的距离也相等.16、如图，在平面直角坐标系xoy中.（1）请写出△ABC各顶点的坐标，并求△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（3）已知点A与点A2（-3，2）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的图形△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式；（4）若点P（m，n）是△ABC中AB边上一点，请表示其在△A2B2C2中对应点的坐标.717、如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线的交于点P.求证：∠P=90°＋21∠A.18、如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数.（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠P=_____，若∠ABC＋∠ACB=110°，则∠P=_____；（2）若∠BAC=90°，则∠P=___________；（3）从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是__________________；（4）证明第（3）题中你所猜想的结论.19、如图，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠CAB=∠EAD=90°.求证：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD.20、如图所示，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=90°，BO⊥AC于点O.点P、D分别在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于点E.求证：△BPO≌△PDE.PDCBA821、如图，AD、BC相交于点E，∠1=∠2，∠3=∠4.（1）求∠C、∠D与∠P之间的关系；（2）已知∠P=56°，求∠C+∠D的度数.22、如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E.求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B；23、如图，在△ABC中，D是AB的中点，E、F分别是AC、BC上的点，且DE⊥DF.求证：AE+BF＞EF．924、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC于点G，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交其延长线于点F，BE=CF.求证：BG=CG.25、已知：在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点.（1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF.求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E、F分别为AB、CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.