二项式定理的高考常见题型及解题对策

市委召开了全市乡科级主要领导干部集中学习班暨“大学习、大讨论、大调研”活动启动会，根据会议安排，在镇党委统一组织学习的基础上，坚持以问题为导向，紧扣“天府六问”“果城十二问”题型一：求二项展开式1．“nba)(”型的展开式例1．求4)13(xx的展开式；解：原式=4)13(xx=24)13(xx=])3()3()3()3([144342243144042CCCCCxxxxx=)112548481(12342xxxxx=54112848122xxxx小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2．“nba)(”型的展开式例2．求4)13(xx的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx改写成4)]1(3[xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”例3．计算cCCCnnnnnnn3)1(....27931321；解：原式=nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(....)3()3()3(33322110小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。题型二：求二项展开式的特定项1．求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）92)21(xx展开式中9x的系数是；解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C，填221（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）72)2)(1xx（的展开式中，3x项的系数是；解：在展开式中，3x的来源有：①第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C；市委召开了全市乡科级主要领导干部集中学习班暨“大学习、大讨论、大调研”活动启动会，根据会议安排，在镇党委统一组织学习的基础上，坚持以问题为导向，紧扣“天府六问”“果城十二问”②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(447667CC填1008。（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6．（04安徽改编）3)21(xx的展开式中，常数项是；解：36323)1(])1([)21(xxxxxx上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xxC，即20本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。2．求中间项例7．（00京改编）求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121nnnnbaC；当n为偶数时，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。3．求有理项例8．（00京改编）求103)1(xx的展开式中有理项共有项；解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9,6,3,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。4．求系数最大或最小项市委召开了全市乡科级主要领导干部集中学习班暨“大学习、大讨论、大调研”活动启动会，根据会议安排，在镇党委统一组织学习的基础上，坚持以问题为导向，紧扣“天府六问”“果城十二问”（1）特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例10．求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第k项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182.rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2.2.2.2.8118228118即)!8(!!82)!9)!.(1(!82)!10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3项2537xT和第4项2747xT。（3）系数绝对值最大的项例11．在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4项4347yxC，和第5项5257yxC。题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若443322104)32(xaxaxaxaax，市委召开了全市乡科级主要领导干部集中学习班暨“大学习、大讨论、大调研”活动启动会，根据会议安排，在镇党委统一组织学习的基础上，坚持以问题为导向，紧扣“天府六问”“果城十二问”则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故原式=)]()).[((3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1)1(4例13．（04天津）若2004221020042004...)21(xxaxaax，则)(...)()(200402010aaaaaa；解：2004221020042004...)21(xxaxaax，令1x，有1...)21(20042102004aaaa令0x，有1)01(02004a故原式=020042102003)...(aaaaa=200420031在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1特殊值在解题过程中考虑的比较多。例14．设0155666...)12(axaxaxax，则6210...aaaa；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：rrrrxTC)1()2(66165432106210...aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=0题型四：利用二项式定理求近似值市委召开了全市乡科级主要领导干部集中学习班暨“大学习、大讨论、大调研”活动启动会，根据会议安排，在镇党委统一组织学习的基础上，坚持以问题为导向，紧扣“天府六问”“果城十二问”例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01(，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01(=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61001.000006.0)002.0(15)002.0.(22263CT，且第3项以后的绝对值都小于001.0，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01()002.0(61=988.0012.01小结：由nnnnnnxxxxCCC...1)1(221，当x的绝对值与1相比很小且n很大时，nxxx,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：nxxn1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(xnnnxxn。利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。题型五：利用二项式定理证明整除问题求证：15151能被7整除。证明：15151=1)249(51=12.2.49.....2.49.2.49.495151515050512492515015151051CCCCC=49P+1251（NP）又1)2(1217351=（7+1）171=17.....7.7.7.17171617152171611717017CCCCC=7Q（QN）)(77715151QPQP15151能被7整除。在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。