机械优化设计研究报告

机械优化设计研究报告1前言优化设计是二十世纪六十年代随着电子计算机的广泛使用而迅速发展起来的一门新的学科。优化设计能为工程及产品设计提供一种重要的科学设计方法，使得在解决复杂设计问题时，能从众多的设计方案中寻得尽可能完善的设计方案并大大地提高设计质量和设计效率。目前优化设计方法在航空、造船、国防、机械、电子、电器、交通、建筑、纺织、冶金、石油、化工及管理等领域都得到了广泛地应用和发展，并且取得了显著的经济效益和社会效益。最优化是人们在工程技术、科学研究和经济管理等诸多领域中经常遇到的问题。如结构设计要在满足强度要求等条件下使所用材料的总重量最轻；资源分配要使各用户利用有限资源产生的总效益最大；安排运输方案要在满足物资需求和装载条件下使运输总费用最低；编制生产计划应按照产品的工艺流程和客户需求，尽量降低人力、设备、原材料等成本，使总利润达到最高等。任何一项工程或一个产品的设计，都需要根据设计要求，合理选择方案，确定各种参数，以期望达到最佳的设计目标，如重量轻、材料省、成本低、性能好、承载能力高等。可以预料，随着科学技术特别是计算机技术的不断发展，数学理论和方法向各门学科和各个应用领域更广泛、更深入地渗透，在当今的信息时代，最优化理论和技术必将在社会的诸多方面起着越来越大的作用，有着巨大地发展潜力和广泛地应用前景。常规的设计方法通常是，根据设计人员的经验或通过类比法以相似的设计作为初始设计方案和参数，然后通过人工作图及复杂的计算确定初始参数是否可行。若结果不满足要求，则修改初始参数，重新进行人工作图及计算。通常需要如此循环多次才能得到符合需要的设计结果，并且设计结果一般都不是“最优”的。优化设计是在规定的各种设计限制条件下，将实际设计问题首先转化为最优化问题的数学模型，然后运用各种最优化理论和方法，在计算机上编程进行自动寻优计算，从满足各种设计要求及限制条件的全部可行方案中，选择出最优设计方案。与常规的设计方法相比，优化设计的最大优点是：它能根据最优化理论，从所有可行的设计方案中找到最完善、最合适的一个方案来。在优化设计过程中，计算机的使用，大大缩短了设计周期、减少了设计误差，提高了设计质量。有很多常用的优化算法，如无约束最优化方法中的梯度法(最速下降法)、牛顿法、共轭方向法、变尺度法、坐标轮换法和鲍威尔法等；约束最优化方法中的约束随机方向搜索法、罚函数方法、复形法等。上述这些方法亦可称为传统的优化方法。机械最优化设计，就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的形态、几何尺寸关系或其它因素的限制(约束)范围内，选取设计变量，建立目标函数，并使其获得最优值的一种设计方法。一般采用优化算法来获取最优值。优化算法有很多，而梯度投影法和惩罚函数法（PenaltyFunctionMethod）是目前求解约束非线性最优化问题非常有效的方法。本文分别分析了梯度投影法与惩罚函数法的实现方法,并基于一单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计为例，说明以上两种方法在机械优化设计中的应用。2算法概述2.1惩罚函数法惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接解法。它的基本原理是将约束优化问题Minf(x)中的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数结合形成新的目标函数—惩罚函数lkkmjjxhHrxgGrxfrrx112121)]([)]([)(),,(求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。为此，按一定的法则改变加权因子r1和r2的值，构成一系列的无约束优化问题，求得一系列的无约束最优解，并不断地逼近原约束优化问题的最优解。因此惩罚函数法又称序列无约束极小化方法，常称SUMT法。上式中的第二项和第三项称为加权转化项。根据它们在惩罚函数中的作用，又分别称为障碍项和惩罚项。障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程中将阻止迭代点越出可行域；惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。根据迭代过程是否在可行域内进行，惩罚函数法又可分为内点惩罚函数法，外点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。一、内点惩罚函数法内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。对于只具有不等式约束的优化问题l),,2,1(k0)(hm),,2,1(j0)(..kxxgtsjm),,2,1(j0)(..)(minxgtsxfj转化后的惩罚函数形式为：式中r—惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即r0r1r2…→0。由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子r→0时，才能求得在约束边界上的最优解。二、外点惩罚函数法外点惩罚函数法简称外点法。这种方法和内点法相反，新目标函数定义在可行域之外，序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。对于约束优化问题minf(x)转化后的外点惩罚函数的形式为2112)]([)](,0max[)(),(lkkmjjxhHrxgrxfrx式中r—惩罚因子，它是由小到大，且趋近于∞的数列，即r0r1r2…→∞；由于外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x不可行时，惩罚项的值大于0。使得惩罚函数),(rx大于原目标函数，这可看成是对迭代点不满足约束条件的一种惩罚。当迭代点离约束边界愈远，惩罚项的值愈大，这种惩罚愈重。但当迭代点不断接近约束边界和等式约束曲面时，惩罚项的值减小，且趋近于0，惩罚项的作用逐渐消失，迭代点也就趋近于约束边界上的最优点了。2.2梯度投影法梯度投影法自问世以来获得了国内外广泛的注意和系统的研究，至今已成为mjjkkrxgrxfrx1)()()0(,)(1,l),,2,1(k0)(hm),,2,1(j0)(..kxxgtsj求解非线性规划的基本方法之一。梯度投影法是应生产的需要，在最束下降法的基础上，借助于几何直观而产生的一种解决非线性规划问题的有效算法。利用梯度作为搜寻方向是求解无限制式的最佳化问题之一，但对于具有限制式的问题来说，由于梯度方向可能指向可行域外，所以无法执行求解工作。1960年Rosen首先提出克服此困难的方法：将梯度投影至可行解区域内以获得可行的求解方向。3应用实例设计如图l所示的一单级直齿圆柱齿轮减速器，其输入轴的扭矩为T=150N·m，齿数比u=3.2，工作寿命要求达到72000h，原动机采用电动机，工作状态均匀平稳，小齿轮材料为40Cr，调质后表面淬火，齿面硬度HB=235～275，[H]l=650MPa，[F]l=290MPa；大齿轮材料为45钢调质，齿面硬度为HB=217～255，[H]2=570MPa，[F]2=210MPa；取载荷系数K=1.48[5]。求满足正常工作条件下的两齿轮的体积最小的设计参数。图l单级直齿圆柱齿轮减速器3.1建立数学模型以一对圆柱齿轮的体积最小，即重量最轻，建立目标函数：4/)()(2221bddxF由u=d1/d2,引入齿宽系数1/dbd,目标函数化为：33231312828.84/))(1()(xxxmzuxFd设计变量TdTzmxxxX],,[],,[1321，式中m—齿模数，z1—小齿轮齿数，d—齿宽系数。3.2确定约束条件3.2.1边界（设计变量）约束条件模数限制：1021x，齿数限制：35172x，齿宽系数限制4.18.03x。3.2.2性能约束1）接触疲劳强度的限制：02][][)(3111dKTZZZXGdEUHHHH，式中：H为接触疲劳强度；k为载荷系数，取1.48；ZH为节点啮合系数，取2.5；ZU为齿数比系数，uuZU1；ZE为材料系数，取189.8。代入以上参数可得：332311/23.362210570)(xxxXG0),,(3211xxxg2）弯曲强度的限制02][][2131SFdFFFYYzmkT，式中，F为弯曲疲劳强度；YF为齿形系数，063.2018.3519.1211zYF，063.2018.3519.1212zuYF；YS为齿根应力集中系数,6.34704.2297.111zYS,6.34704.2297.112zuYS,代入以上参数得：0),,()/()6.34704.2297.1()063.2018.3519.12(444000290)(321232231222xxxgxxxxxXG0),,()/()6.342.3704.2297.1()063.2018.32.3519.12(444000210)(321332231223xxxgxxxxxXG4算法设计4.1内点惩罚函数法4.1.1内点惩罚函数法解优化问题的一般步骤内点法的计算步骤为：1）选取可行的初始点x0,惩罚因子的初值r0，缩减系数c以及收敛精度21、。令迭代次数k=0。2）构造惩罚函数)(rx、，选择适当的无约束优化方法，求函数)(rx、的无约束极值，得)(*krx点。3）根据收敛条件判别迭代是否收敛，若满足迭代条件，迭代终止。约束最优解为)(**krxx，))(()(**krxfxf；否则令1),(,*01kkrxxcrrkkk转步骤2）。内点法的程序框图如下：开始输入x、r、c、εk←0求minф(x,r)满足收敛条件结束K←k+1)(*01kkkrxxcrr)(**krxx))(()(**krxfxf否是图2内点法程序框图4.1.2内点惩罚函数法解本项目研究问题一、本项目的数学模型33231828.8minxxxfs.t.023.362210570)(332311xxxxg0)6.34704.2297.1()063.2018.3519.12(444000290)(33231222xxxxxxg0)6.342.3704.2297.1()063.2018.32.3519.12(444000210)(33231223xxxxxxg02)(14xxg010)(15xxg017)(26xxg035)(27xxg08.0)(38xxg04.1)(39xxg二、构造内点惩罚函数33231)(3323191)()(23.3622105701(828.8)(1)(),(xxxrxxxxgrxfrxkjikk3323122)6.34704.2297.1()063.2018.3519.12(4440002901xxxxx17110121)6.342.3704.2297.1()063.2018.32.3519.12(44400021012123323122xxxxxxxx)4.118.01351332xxx则此约束问题化为无约束优化问题来处理。三、求解步骤1）初始点X（0）的确定：由于内点法的搜索是在可行域内进行，所以初始点应严格满足全部约束条件，即：0)(Xgij=1,2,…,p若设计点X（K）点不能满足全部约束条件，可采用某种调整的方法将X（K）点逐步引入到可行域内成为可行点。本项目取初始点X（0）=（3，32，1），检验其可行性：09174.1840825708.3855701*32768*2723.362210570)()0(1xg072749.2242764