人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

第十七章勾股定理17.1勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么222abc＝勾股定理的证明：方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc大正方形面积为222()2Sabaabb∴222abc方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证17.2勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足222abc＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等bacbaccabcabcbaHGFEDCBAabccbaEDCBA例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得c=22ab=2243=5诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，c=22ba=2243=7例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，a=2，c=22，求b.错解由勾股定理，得B=22ca=22(22)(2)=6诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴b=22ca=22(22)(2)=10例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．x=2268=3664=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268=3664=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm或者27cm.例、如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，AM是中线，且AM=12BC=233AD.又RT△ABC的周长是(6+23)cm.求AD．错解∵△ABC是直角三角形，∴AC:AB:BC=3:4:5∴AC∶AB∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332，AB=412(6+23)=6233，BC=512(6+23)=15536又∵12ACAB=12BCAD∴AD=ACABBC=336232315536=(33)2(33)5(33)=25(3+3)(cm)诊断我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD∴MD=222(3)3ADAD=33AD又∵MC=MA，∴CD=MD．∵点C与点M关于AD成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°，AC=12BC，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n)2=(214n)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形.诊断证明1错在以特殊取代一般．