第十章定积分的应用3平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB.如图所示,在C上从A到B依次取分点:A=P0,P1,P2,…,Pn-1,Pn=B,它们成为曲线C的一个分割,记为T.用线段联结T中每相邻两点,得到C的n条弦Pi-1Pi(i=1,2,…,n),这n条弦又成为C的一条内接折线,记:T=ni1max|Pi-1Pi|,sT=n1ii1-i|PP|,分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1:对于曲线C的无论怎样的分割T,如果存在有限极限:0TlimsT=s,则称曲线C是可求长的,并把极限s定义为曲线C的弧长.定义2:设平面曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微,且x’(t)与y’(t)不同时为零(即x’2(t)+y’2(t)≠0,t∈[α,β]),则称C为一条光滑曲线.定理10.1:设曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.若C为一光滑曲线,则C是可求长的,且弧长为:s=βα22(t)y(t)xdt.证:对C作任意分割T={P0,P1,…,Pn},并设P0与Pn分别对应t=α与t=β,且Pi(xi,yi)=(x(ti),y(ti)),i=1,2,…,n-1.于是,与T对应得到区间[α,β]的一个分割T’:α=t0t1t2…tn-1tn=β.在T’所属的每个小区间△i=[ti-1,ti]上,由微分中值定理得△xi=x(ti)-x(ti-1)=x’(ξi)△ti,ξi∈△i;△yi=y(ti)-y(ti-1)=y’(ηi)△ti,ηi∈△i.从而C的内接折线总长为sT=n1i2i2iyx=n1ii2i2)(ηy)(ξx△ti.记σi=)(ηy)(ξxi2i2-)(ξy)(ξxi2i2,则sT=n1iii2i2σ)(ηy)(ξx△ti.又由三角形不等式可得:|σi|≤||y’(ηi)|-|y’(ξi)||≤|y’(ηi)-y’(ξi)|.由y’(t)在[α,β]上连续,从而一致连续,∴对任给的ε0,存在δ0,当Tδ时,只要ηi,ξi∈△i,就有|σi|≤|y’(ηi)-y’(ξi)|α-βε,i=1,2,…,n.∴|sT-n1ii2i2)(ξy)(ξx△ti|=|n1iiσ△ti|≤n1ii|σ|△tiε,∴0TlimsT=n1ii2i20T)(ξy)(ξxlim△ti,即s=βα22(t)y(t)xdt.注:1、若曲线C由直线坐标方程y=f(x),x∈[a,b]表示,则看作参数方程:x=x,y=f(x),x∈[a,b].因此,当f(x)在[a,b]上连续可微时,此曲线即为一光滑曲线,其弧长公式为:s=ba2(x)f1dx.2、若曲线C由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]表示,则化为参数方程:x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,θ∈[α,β].由x’(θ)=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ,y’(θ)=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ,得:x’2(θ)+y’2(θ)=r2(θ)+r’2(θ),∴当r’(θ)在[α,β]连续,且r(θ)与r’(θ)不同时为零时,此极坐标曲线为一光滑曲线,其弧长公式为:s=βα22)(θr)(θrdθ.例1:求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0)一拱的孤长.解:∵x’(t)=a-acost;y’(t)=asint.∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=2π0222tsin4adt=4a2π02tsind2t=8a.例2:求悬链线y=2ee-xx从x=0到x=a0那一段的弧长.解:∵y’=2ee-xx.∴1+y’2=2x-x2ee.其弧长为s=a0-xx2eedx=2ee-aa.例3:求心形线r=a(1+cosθ)(a0)的周长.解:∵r’(θ)=-asinθ.∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=2π02θacos2dθ=4a2π02θcosd2θ=8a.注:∵s(t)=tα22(t)y(t)xdt连续,∴dtds=22dtdydtdx,即有ds=22dydx.特别称s(t)的微分dx为弧微分.(如左下图)PR为曲线在点P处的切线,在Rt△PQR中,PQ为dx,QR为dy,PR则为dx,这个三角形称为微分三角形。二、曲率:考察右上图由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出的光滑曲线C上,⌒PQ与⌒QR长度相近,但弯曲程度差别较大,可见当动点沿曲线C从点P移至Q时,切线转过的角度△α比动点从Q移至R时切线转过的角度△β要大得多.设α(t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角,△α=α(t+△t)-α(t)表示动点由P沿曲线移至Q(x(t+△t),y(t+△t))时切线倾角的增量,若⌒PQ之长为△s,则称K=sα为弧线⌒PQ的平均曲率.如果存在有限极限K=sαlim0t=sαlim0s=dsdα,则称此极限K为曲线C在点P处的曲率.由于假设C为光滑曲线,所以总有α(t)=arctan(t)x(t)y或α(t)=arccot(t)y(t)x.又若x(t)与y(t)二阶可导,则由弧微分可得:dsdα=(t)s(t)α=2322(t)]y(t)x[(t)y(t)x-(t)y(t)x.∴曲率的公式为:K=2322)yx(yx-yx.注:若曲线由y=f(x)表示,则相应的曲率公式为:K=232)y(1y.例4:求椭圆x=acost,y=bsint,0≤y≤2π上曲率最大和最小的点.解:∵x’(t)=-asint,x”(t)=-acost;y’(t)=bcost,y”(t)=-bsint.∴x’2(t)+y’2(t)=a2sin2t+b2cos2t=a2+(b2-a2)cos2t;x’(t)y”(t)-x”(t)y’(t)=absin2t+abcos2t=ab.∴K=2322(t)]y(t)x[(t)y(t)x-(t)y(t)x=232222t]cos)ab([aab.当cos2t=0时,K=2ab;当cos2t=1时,K=2ba.∴Kmax=max{2ab,2ba};Kmin=min{2ab,2ba}.注:1、当a=b=R时,椭圆变成圆,则曲率K=R1.2、直线上处处曲率为0.定义:设曲线C在某一点P处的曲率K≠0.若过P作一个半径为ρ=K1的圆,使它在P处与曲线有相同的切线,并在点P近旁与曲线位于切线同侧。我们把这个圆称为曲线C在点P处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径和圆心称为曲线C在点P处的曲率半径和曲率中心。铁路弯道分析:火车轨道从直道进入到半径为R的圆弧形弯道时,为了行车安全,必须经过一段缓冲轨道,使得曲率由零连续地增加到R1,以保证火车的向心加速度(a=ρv2)不发生跳跃性的突变。如图,x轴负半轴表示直线轨道,⌒AB是半径为R的圆弧形轨道(点Q为其圆心),⌒OA为缓冲轨道。我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=6Rlx3.其中l是⌒OA的弧长.它的曲率K=23)xl(4Rxl8R42222.当x从0变为x0时,曲率K从0连续地变为K0=23)xl(4Rxl8R4022022=23240202Rx4lx8lR1.当x0≈l,且Rx0很小时,K0≈R1.因此由⌒OA的曲率从0逐渐增加到接近于R1,从而起了缓冲作用。习题1、求下列曲线的弧长:(1)y=3x,0≤x≤4;(2)x+y=1;(3)x=acos3t,y=asin3t(a0),0≤t≤2π;(4)x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(a0),0≤t≤2π;(5)r=asin33θ(a0),0≤θ≤3π;(6)r=aθ(a0),0≤θ≤2π.解:(1)∵y’=x23;∴弧长S=40x491dx=278(1010-1).(2)∵y=1-2x+x,0≤x≤1,y’=1-x1;∴弧长S=102x111dx=2101x2-x2dx=1+22ln(1+2).(3)∵x’=-3asintcos2t,y’=3acostsin2t;x’2+y’2=9a2(sin2tcos4t+cos2tsin4t)=9a2sin2tcos2t=49a2sin22t.∴弧长S=43a2π0|sin2t|d2t=6a.(4)∵x’=a(sint+tcost-sint)=atcost,y’=a(cost-cost+tsint)=atsint;x’2+y’2=a2t2.∴弧长S=a2π0tdt=2π2a.(5)∵r’=asin23θcos3θ;r2+r’2=a2sin43θ.∴弧长S=3a3θsin3π02d3θ=23πa.(6)∵r’=a,∴弧长S=a2π02θ1dθ=πa2π41+21aln(2π+2π41).2、求下列各曲线在指定点处的曲率:(1)xy=4,在点(2,2);(2)y=lnx,在点(1,0);(3)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0),在t=2π的点;(4)x=acos3t,y=asin3t(a0),在t=4π的点.解:(1)∵y=x4,y’=-2x4,y”=4xx8=3x8,∴K=2343x161x8.当x=2时,K=221=42.(2)∵y’=x1,y”=-2x1,∴K=2322x11x1.当x=1时,K=221=-42.(3)∵x’2πt=a(1-cost)2πt=a,x”2πt=asint2πt=a;y’2πt=asint2πt=a,y”2πt=acost2πt=0;∴当t=2π时,K=2322)(2aa=4a2.(4)x’4πt=-3acos2tsint4πt=-423a,x”4πt=3a(2costsin2t-cos3t)4πt=423a;y’4πt=3asin2tcost4πt=423a,y”4πt=3a(2sintcos2t-sint3t)4πt=423a;∴当t=4π时,K=2322a49a49=3a2.3、求a,b的值,使椭圆x=acost,y=bsint的周长等于正弦曲线y=sinx在0≤x≤2π上一段的长.解:当2π02222tcosbtsinadt=2π02tcos1dt时,tcosbtsina2222=t)cosa-b(a2222=tcos12,∴a=1,b=2;或a=2,b=1.4、设曲线由极坐标方程r=r(θ)给出,且二阶可导,证明它在点(r,θ)处的曲率为K=232222)r(r|rr-r2r|.证:化为参数方程:x=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ,则x’=f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ,x”=f”(θ)cosθ-f’(θ)sinθ-f’(θ)sinθ-f(θ)cosθ=[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ.y’=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ,y”=f”(θ)sinθ+f’(θ)cosθ+f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ=[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ.∴x’2+y’2=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]2+[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]2=f’2(θ)-2f’(θ)cosθf(θ)sinθ+2f’(θ)sinθf(θ)cosθ+f2(θ)=r2+r’2.∵x’y”=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]{[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ}=f’(θ)f”(θ)sinθcos