数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章定积分的应用3平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB.如图所示，在C上从A到B依次取分点：A=P0,P1,P2,…,Pn-1,Pn=B，它们成为曲线C的一个分割，记为T.用线段联结T中每相邻两点，得到C的n条弦Pi-1Pi(i=1,2,…,n)，这n条弦又成为C的一条内接折线，记：T=ni1max|Pi-1Pi|，sT=n1ii1-i|PP|，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。定义1：对于曲线C的无论怎样的分割T，如果存在有限极限：0TlimsT=s，则称曲线C是可求长的，并把极限s定义为曲线C的弧长.定义2：设平面曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x’(t)与y’(t)不同时为零(即x’2(t)+y’2(t)≠0,t∈[α,β])，则称C为一条光滑曲线.定理10.1：设曲线C由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出.若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为：s=βα22(t)y(t)xdt.证：对C作任意分割T={P0,P1,…,Pn}，并设P0与Pn分别对应t=α与t=β,且Pi(xi,yi)=(x(ti),y(ti)),i=1,2,…,n-1.于是，与T对应得到区间[α,β]的一个分割T’：α=t0t1t2…tn-1tn=β.在T’所属的每个小区间△i=[ti-1,ti]上，由微分中值定理得△xi=x(ti)-x(ti-1)=x’(ξi)△ti,ξi∈△i；△yi=y(ti)-y(ti-1)=y’(ηi)△ti,ηi∈△i.从而C的内接折线总长为sT=n1i2i2iyx=n1ii2i2)(ηy)(ξx△ti.记σi=)(ηy)(ξxi2i2-)(ξy)(ξxi2i2，则sT=n1iii2i2σ)(ηy)(ξx△ti.又由三角形不等式可得：|σi|≤||y’(ηi)|-|y’(ξi)||≤|y’(ηi)-y’(ξi)|.由y’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε0,存在δ0，当Tδ时，只要ηi,ξi∈△i，就有|σi|≤|y’(ηi)-y’(ξi)|α-βε,i=1,2,…,n.∴|sT-n1ii2i2)(ξy)(ξx△ti|=|n1iiσ△ti|≤n1ii|σ|△tiε,∴0TlimsT=n1ii2i20T)(ξy)(ξxlim△ti，即s=βα22(t)y(t)xdt.注：1、若曲线C由直线坐标方程y=f(x),x∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x,y=f(x),x∈[a,b].因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=ba2(x)f1dx.2、若曲线C由极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]表示，则化为参数方程：x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,θ∈[α,β].由x’(θ)=r’(θ)cosθ-r(θ)sinθ,y’(θ)=r’(θ)sinθ+r(θ)cosθ,得：x’2(θ)+y’2(θ)=r2(θ)+r’2(θ)，∴当r’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线，其弧长公式为：s=βα22)(θr)(θrdθ.例1：求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost;y’(t)=asint.∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=2π0222tsin4adt=4a2π02tsind2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx从x=0到x=a0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx.∴1+y’2=2x-x2ee.其弧长为s=a0-xx2eedx=2ee-aa.例3：求心形线r=a(1+cosθ)(a0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ.∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=2π02θacos2dθ=4a2π02θcosd2θ=8a.注：∵s(t)=tα22(t)y(t)xdt连续，∴dtds=22dtdydtdx，即有ds=22dydx.特别称s(t)的微分dx为弧微分.(如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。二、曲率：考察右上图由参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]给出的光滑曲线C上，⌒PQ与⌒QR长度相近，但弯曲程度差别较大，可见当动点沿曲线C从点P移至Q时，切线转过的角度△α比动点从Q移至R时切线转过的角度△β要大得多.设α(t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角，△α=α(t+△t)-α(t)表示动点由P沿曲线移至Q(x(t+△t),y(t+△t))时切线倾角的增量，若⌒PQ之长为△s，则称K=sα为弧线⌒PQ的平均曲率.如果存在有限极限K=sαlim0t=sαlim0s=dsdα，则称此极限K为曲线C在点P处的曲率.由于假设C为光滑曲线，所以总有α(t)=arctan(t)x(t)y或α(t)=arccot(t)y(t)x.又若x(t)与y(t)二阶可导，则由弧微分可得：dsdα=(t)s(t)α=2322(t)]y(t)x[(t)y(t)x-(t)y(t)x.∴曲率的公式为：K=2322)yx(yx-yx.注：若曲线由y=f(x)表示，则相应的曲率公式为：K=232)y(1y.例4：求椭圆x=acost,y=bsint,0≤y≤2π上曲率最大和最小的点.解：∵x’(t)=-asint,x”(t)=-acost；y’(t)=bcost,y”(t)=-bsint.∴x’2(t)+y’2(t)=a2sin2t+b2cos2t=a2+(b2-a2)cos2t；x’(t)y”(t)-x”(t)y’(t)=absin2t+abcos2t=ab.∴K=2322(t)]y(t)x[(t)y(t)x-(t)y(t)x=232222t]cos)ab([aab.当cos2t=0时，K=2ab；当cos2t=1时，K=2ba.∴Kmax=max{2ab,2ba}；Kmin=min{2ab,2ba}.注：1、当a=b=R时，椭圆变成圆，则曲率K=R1.2、直线上处处曲率为0.定义：设曲线C在某一点P处的曲率K≠0.若过P作一个半径为ρ=K1的圆，使它在P处与曲线有相同的切线，并在点P近旁与曲线位于切线同侧。我们把这个圆称为曲线C在点P处的曲率圆或密切圆。曲率圆的半径和圆心称为曲线C在点P处的曲率半径和曲率中心。铁路弯道分析：火车轨道从直道进入到半径为R的圆弧形弯道时，为了行车安全，必须经过一段缓冲轨道，使得曲率由零连续地增加到R1，以保证火车的向心加速度(a=ρv2)不发生跳跃性的突变。如图，x轴负半轴表示直线轨道，⌒AB是半径为R的圆弧形轨道(点Q为其圆心)，⌒OA为缓冲轨道。我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线y=6Rlx3.其中l是⌒OA的弧长.它的曲率K=23)xl(4Rxl8R42222.当x从0变为x0时，曲率K从0连续地变为K0=23)xl(4Rxl8R4022022=23240202Rx4lx8lR1.当x0≈l，且Rx0很小时，K0≈R1.因此由⌒OA的曲率从0逐渐增加到接近于R1，从而起了缓冲作用。习题1、求下列曲线的弧长：(1)y=3x,0≤x≤4；(2)x+y=1；(3)x=acos3t,y=asin3t(a0),0≤t≤2π；(4)x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcost)(a0),0≤t≤2π；(5)r=asin33θ(a0),0≤θ≤3π；(6)r=aθ(a0),0≤θ≤2π.解：(1)∵y’=x23；∴弧长S=40x491dx=278(1010-1).(2)∵y=1-2x+x,0≤x≤1，y’=1-x1；∴弧长S=102x111dx=2101x2-x2dx=1+22ln(1+2).(3)∵x’=-3asintcos2t,y’=3acostsin2t；x’2+y’2=9a2(sin2tcos4t+cos2tsin4t)=9a2sin2tcos2t=49a2sin22t.∴弧长S=43a2π0|sin2t|d2t=6a.(4)∵x’=a(sint+tcost-sint)=atcost,y’=a(cost-cost+tsint)=atsint；x’2+y’2=a2t2.∴弧长S=a2π0tdt=2π2a.(5)∵r’=asin23θcos3θ；r2+r’2=a2sin43θ.∴弧长S=3a3θsin3π02d3θ=23πa.(6)∵r’=a，∴弧长S=a2π02θ1dθ=πa2π41+21aln(2π+2π41).2、求下列各曲线在指定点处的曲率：(1)xy=4,在点(2,2)；(2)y=lnx,在点(1,0)；(3)x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0),在t=2π的点；(4)x=acos3t,y=asin3t(a0),在t=4π的点.解：(1)∵y=x4,y’=-2x4,y”=4xx8=3x8,∴K=2343x161x8.当x=2时，K=221=42.(2)∵y’=x1,y”=-2x1,∴K=2322x11x1.当x=1时，K=221=-42.(3)∵x’2πt=a(1-cost)2πt=a,x”2πt=asint2πt=a;y’2πt=asint2πt=a,y”2πt=acost2πt=0；∴当t=2π时，K=2322)(2aa=4a2.(4)x’4πt=-3acos2tsint4πt=-423a,x”4πt=3a(2costsin2t-cos3t)4πt=423a;y’4πt=3asin2tcost4πt=423a,y”4πt=3a(2sintcos2t-sint3t)4πt=423a；∴当t=4π时，K=2322a49a49=3a2.3、求a,b的值，使椭圆x=acost,y=bsint的周长等于正弦曲线y=sinx在0≤x≤2π上一段的长.解：当2π02222tcosbtsinadt=2π02tcos1dt时，tcosbtsina2222=t)cosa-b(a2222=tcos12，∴a=1,b=2;或a=2,b=1.4、设曲线由极坐标方程r=r(θ)给出，且二阶可导，证明它在点(r,θ)处的曲率为K=232222)r(r|rr-r2r|.证：化为参数方程：x=f(θ)cosθ,y=f(θ)sinθ,则x’=f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ,x”=f”(θ)cosθ-f’(θ)sinθ-f’(θ)sinθ-f(θ)cosθ=[f”(θ)-f(θ)]cosθ-2f’(θ)sinθ.y’=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ=f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ,y”=f”(θ)sinθ+f’(θ)cosθ+f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ=[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ.∴x’2+y’2=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]2+[f’(θ)sinθ+f(θ)cosθ]2=f’2(θ)-2f’(θ)cosθf(θ)sinθ+2f’(θ)sinθf(θ)cosθ+f2(θ)=r2+r’2.∵x’y”=[f’(θ)cosθ-f(θ)sinθ]{[f”(θ)-f(θ)]sinθ+2f’(θ)cosθ}=f’(θ)f”(θ)sinθcos