数学分析10.1平面图形的面积

第十章定积分的应用1平面图形的面积公式1：连续曲线y=f(x)(≥0)，以及直线x=a,x=b(ab)和x轴所围曲边梯形面积为：A=baf(x)dx=baydx.若f(x)在[a,b]变号，则所围图形的面积为：A=ba|f(x)|dx=ba|y|dx.公式2：上下两条连续曲线y=f2(x)与y=f1(x)以及两条直线x=a与x=b(ab)所围的平面图形面积为：A=ba12(x)]-f(x)[fdx.例1：求由抛物线y2=x与直线x-2y-3=0所围图形的面积A.解法一：A等同于由抛物线y=x2与直线y=2x+3所围图形的面积.解方程组：xy32xy2，得9y3x,1y1x.∴A=312)x-3(2xdx=[32-(-1)2]+3[3-(-1)]-3(-1)-333=332.解法二：如图，图形被x=1分为左右两部分，A左=10)]x(x[dx=310xdx=34.A右=9123-xxdx=312-9233-41-922+21)-(93=328.A=A左+A右=34+328=332.公式3：设曲线C为参数方程x=x(t),y=y(t),t∈[α,β]，在[α,β]上y(t)连续，x(t)连续且可微且x’(t)≠0(类似地可讨论y(t)连续可微且y’(t)≠0的情形).记a=x(α),b=x(β),(a≠b)，则由曲线C及直线x=a,x=b和x轴所围的图形，其面积计算公式为：A=βα(t)x)t(ydt.例2：求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a0)的一拱与x轴所围平面图形的面积.解：摆线的一拱可取t∈[0,2π]，又x’=a(1-cost)，∴A=2π022)tcos1(adt=3πa2.公式4：若参数方程所表示的曲线是封闭的，即有x(α)=x(β),y(α)=y(β)，且在(α,β)内曲线自身不再相交，则由曲线自身所围图形面积为：A=βα(t)dtx)t(y或A=βα(t)dty)t(x.例3：求椭圆22ax+22by=1所围的面积.解：化为参数方程：x=asint,y=bcost,t∈[0,2π],又x’=acost，∴A=2π02tdtabcos=πab.公式5：设曲线C为极坐标方程r=r(θ),θ∈[α,β]，且r(θ)在[α,β]上连续,β-α≤2π.由曲线C与两条射线θ=α,θ=β所围成的平面图形，通常也称为扇形，此扇形的面积为：A=βα2dθ)θ(r21.证：如图，对区间[α,β]作任意分割T：α=θ0θ1…θn-1θn=β，射线θ=θi(i=1,2,…,n-1)把扇形分成n个小扇形.∵r(θ)在[α,β]上连续，∴当T很小时，在每一个△i=[θi-1,θi]上r(θ)的值变化也很小，任取ξi∈△i，便有r(θ)≈r(ξi),θ∈△i,i=1,2,…,n.这时，第i个小扇形的面积△Ai≈21r2(ξi)△θi,∴A≈n1i21r2(ξi)△θi.当T→0时，两边取极限，就有A=βα2dθ)θ(r21.例3：求双纽线r2=a2cos2θ所围平面图形的面积.解：如图，∵r2≥0，∴θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π]，由图形的对称性可得：A=4·4π02θdθ2cosa21=a2sin2θ|4π0=a2.习题1、求由抛物线y=x2与y=2-x2所围图形的面积.解：求得两曲线交点为(-1,1),(1,1).∴所围图形的面积为：A=1122)x-x-(2dx=38.2、求曲线y=|lnx|与直线x=101,x=10,y=0所围图形的面积.解：所围图形的面积为：A=10101|lnx|dx=-1101lnxdx+101lnxdx=-(xlnx|1101-1101xdlnx)+xlnx|101+101xdlnx=-(101ln10-109)+10ln10-9=1099ln10-1081.3、抛物线y2=2x把圆x2+y2=8分成两部分，求这两部分面积之比.解：问题等同于抛物线y=21x2把圆x2+y2=8分成两部分，求面积比.它们的交点为(2,2),(-2,2).记两部分的面积为A1,A2，则A1=2222)x21x-8(dx=84π4π2θcosdθ-38=2π+34；A2=8π-A1=6π-34.∴21AA=34-6π34+2π=2-9π2+3π.4、求内摆线x=acos3t,y=asin3t(a0)所围图形的面积.解：如图，所围图形面积为：A=42π033dt|)tt(asincosa|=12a22π024tdttsincos=12a22π024tdttsincos=83πa2.5、求心形线r=a(1+cosθ)(a0)所围图形的面积.解法一：根据心形线的对称性，得A=2·π022dθ)θcos1(a21=a2π02dθ)θcosθcos21(=23πa2.解法二：化为参数方程：x=a(1+cosθ)cosθ,y=a(1+cosθ)sinθ,θ∈[0,2π]，A=|2π0dθ]θsin)θcosθ[a(1cos)θcosa(1|=a2|2π0234θ)dθθsincosθcos2θcos(2|=23πa2.6、求三叶形曲线r=asin3θ(a0)所围图形的面积.解：根根三叶形曲线的形态特点，所围图形由相同的三部分组成，即A=332π3π223θsina21dθ=32π3π223θsina21d3θ=4πa2.7、求曲线ax+by=1(a,b0)与坐标轴所围图形的面积.解：曲线与x轴的交点为(a,0)，∴所围图形的面积为：A=ba0axax21dx=6ab.8、求曲线x=t-t3,y=1-t4所围图形的面积.解：当t=-1,1时，x=0,y=0，∴曲线在t∈[-1,1]围成封闭图形，即A=|11-43)t-)(1tt(dt|=4|11-46)tt(dt|=3516.9、求二曲线r=sinθ与r=3cosθ所围公共部分的面积.解法一：化为圆的方程：x2+(y-21)2=41,(x-23)2+y2=43.它们的交点为O(0,0)与P(43,43)，∴所围公共部分的面积为：A=4302223y4321-y41dy=6π2π2tcos41dt+3π02tcos43dt-833=323+12π+3233+8π-833=245π-43.解法二：由sinθ=3cosθ,得tanθ=3，∴二曲线相交于θ=3π.A=3π02θsin21dθ+2π3π2θcos23dθ=-)1(cos2θ413π0dθ+2π3π1)(cos2θ43dθ=-163+12π+8π-1633=245π-43.(参考解法)如图：求得P(43,43)S阴=SPOO1扇形+SPOO2扇形-SPOO1-SPOO2=3πOO12+6πOO22-21·43·OO1-21·43·OO2=12π+8π-163-1633=245π-43.10、求两椭圆22ax+22by=1与22bx+22ay=1(ab0)所围公共部分的面积.解：两椭圆在第一象限的交点为：2222baabbaab，.根据图形的对称性，可得：A=822baab022xax1bdx=4abarcsin22bab-2222bab4a.