高考专题15-平行垂直关系的证明精准培优专练

培优点十五平行垂直关系的证明1．平行关系的证明例1：如图，E，F，G，H分别是正方体1111ABCDABCD的棱BC，1CC，11CD，1AA的中点．求证：（1）EG∥平面11BBDD；（2）平面BDF∥平面11BDH．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】证明（1）如图，取11BD的中点O，连接GO，OB，因为1112OGBCBE∥∥，所以BEOG∥，所以四边形BEGO为平行四边形，故OBEG∥，因为OB平面11BBDD，EG平面11BBDD，所以EG∥平面11BBDD．（2）由题意可知11BDBD∥．连接HB，1DF，因为1BHDF∥，所以四边形1HBFD是平行四边形，故1HDBF∥又1111=BDHDDI，=BDBFBI，所以平面BDF∥平面11BDH．2．垂直关系的证明例2：如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，M为棱AC的中点．=ABBC，=2AC，1=2AA．（1）求证：1BC∥平面1ABM；（2）求证：1AC平面1ABM；（3）在棱1BB上是否存在点N，使得平面1ACN平面11AACC？如果存在，求此时1BNBB的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，12．【解析】（1）证明：连接1AB与1AB，两线交于点O，连接OM．在1BAC△中，∵M，O分别为AC，1AB的中点，∴1OMBC∥，又∵OM平面1ABM，1BC平面1ABM，∴1BC∥平面1ABM．（2）证明：∵侧棱1AA底面ABC，BM平面ABC，∴1AABM，又∵M为棱AC的中点，=ABBC，∴BMAC．∵1=AAACA，1AA，AC平面11ACCA，∴BM平面11ACCA，∴1BMAC∵=2AC，∴=1AM．又∵1=2AA，∴在1RtACC△和1RtAAM△中，11tantan2ACCAMA，∴11ACCAMA＝，即111190ACCCACAMACAC，∴11AMAC∵1BMAMM，BM，1AM平面1ABM，∴1AC平面1ABM．（3）解：当点N为1BB的中点，即112BNBB时，平面1ACN平面11AACC证明如下：设1AC的中点为D，连接DM，DN，∵D，M分别为1AC，AC的中点，∴1DMCC∥，且112DMCC．又∵N为1BB的中点，∴DMBN∥，且DMBN，∴四边形BNDM为平行四边形，∴BMDN∥，∵BM平面11ACCA，∴DN平面11AACC．又∵DN平面1ACN，∴平面1ACN平面11AACC．一、单选题1．平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是1m和1n，给出下列四个命题：①11mnmn；②11mnmn；③1m与1n相交m与n相交或重合；④1m与1n平行m与n平行或重合；其中不正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】结合题意逐一分析所给的四个说法，在如图所示的正方体1111ABCDABCD中：对于说法①：若取平面为ABCD，1m，1n分别为AC，BD，mn，分别为11ACBD，，对点增分集训满足11mn，但是不满足mn，该说法错误；对于说法②：若取平面为11ADDA，1m，1n分别为111ADAD，，mn，分别为111ACBD，，满足mn，但是不满足11mn，该说法错误；对于说法③：若取平面为ABCD，1m，1n分别为ACBD，，mn，分别为11ACBD，，满足1m与1n相交，但是m与n异面，该说法错误；对于说法④：若取平面为11ADDA，1m、1n分别为11ADAD，，m、n分别为11ACBC，，满足1m与1n平行，但是m与n异面，该说法错误；综上可得：不正确的命题个数是4．本题选择D选项．2．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若lm，ln，且mn，，则lB．若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则∥C．若m，mn，则n∥D．若mn∥，n，则m【答案】D【解析】对于选项A，若lm，ln，且mn，，则l不一定垂直平面，∵m有可能和n平行，∴该选项错误；对于选项B，若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则、可能相交或平行，∴该选项错误；对于选项C，若mmn，，则n有可能在平面内，∴该选项错误；对于选项D，由于两平行线中有一条垂直平面，则另一条也垂直平面，∴该选项正确，故答案为D．3．给出下列四种说法：①若平面∥，直线ab，，则ab∥；②若直线ab∥，直线a∥，直线b∥，则∥；③若平面∥，直线a，则a∥；④若直线a∥，a∥，则∥．其中正确说法的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】D【解析】若平面∥，直线ab，，则ab，可异面；若直线ab∥，直线a∥，直线b∥，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线；若直线a∥，a∥，则，可相交，此时ab，平行两平面的交线；若平面∥，直线a，则a与无交点，即a∥；故选D．4．已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（）（1）m，n，m∥，n∥∥（2）nm∥，nm（3）∥，m，nmn∥（4）m，mnn∥A．0个B．1个C．2个D．3【答案】B【解析】由m，n，m∥，n∥，若ab，相交，则可得∥，若ab∥，则与可能平行也可能相交，故（1）错误；若mn∥，n根据线面垂直的第二判定定理可得m，故（2）正确；若∥，m，n，则mn∥或mn，异面，故（3）错误；若m，mn，则n∥或n，故（4）错误；故选B．5．如图，在正方体1111ABCDABCD中，MNP，，分别是1111CDBCAD，，的中点，则下列命题正确的是（）A．MNAP∥B．1MNBD∥C．11MNBBDD∥平面D．MNBDP∥平面【答案】C【解析】A：MN和AP是异面直线，故选项不正确；B：MN和1BD是异面直线，故选项不正确；C：记ACBDOI．∵正方体1111ABCDABCD中，MN，分别11CDBC，是的中点，∴1ONDMCD∥∥，112ONDMCD，∴1MNOD为平行四边形，∴1MNOD∥，∵MN平面1BDD，1OD平面1BDD，∴MN∥平面1BDD．D：由C知11MNBBDD∥平面，而面11BBDD和面BDP相交，故选项不正确；故选C．6．已知mn，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，垂直于同一平面，则与平行B．若mn，平行于同一平面，则mn与平行C．若，不平行，则在内不存在与平行的直线D．若mn，不平行，则mn与不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的两平面相交或平行，A不正确；平行于同一平面的两直线可相交、平行或异面，B不正确；平面不平行即相交，在一个平面内平行两平面交线的直线与另一平面平行，C不正确；D为直线与平面垂直性质定理的逆否命题，故D正确．故选D．7．已知mn，是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若mm，，则∥；②若，，则∥；③若mnmn，，∥，则∥；④若mn，是异面直线，mmnn，∥，，∥，则∥．其中真命题是（）A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④【答案】D【解析】逐一考查所给的命题：①由线面垂直的性质定理可得若mm，，则∥，命题正确；②如图所示的正方体1111ABCDABCD中，取平面，，分别为平面1111ABBAADDAABCD，，，满足，，但是不满足∥，命题错误；③如图所示的正方体1111ABCDABCD中，取平面，分别为平面1111ABBAADDA，，直线mn，分别为11BBDD，，满足mnmn，，∥，但是不满足∥，命题错误；④若mn，是异面直线，mmnn，∥，，∥，由面面平行的性质定理易知∥，命题正确；综上可得，真命题是①和④，本题选择D选项．8．如图，正方体的棱长为1，线段11AC上有两个动点EF，，且2EF；则下列结论错误的是（）．A．BDCEB．EFABCD∥平面C．三棱锥EFBC的体积为定值D．BEF△的面积与CEF△的面积相等【答案】D【解析】在正方体1111ABCDABCD中，BD平面11AACC，而CE平面11AACC，故BDCE，故A正确．又11AC∥平面ABCD，因此EF∥平面ABCD，故B正确．当EF变化时，三角形CEF的面积不变，点B到平面CEF的距离就是B到平面11ACCC的距离，它是一个定值，故三棱锥EFBC的体积为定值（此时可看成三棱锥BCEF的体积），故C正确．在正方体中，点B到EF的距离为62，而C到EF的距离为1，D是错误的，故选D．9．如图所示，AB是圆O的直径，VA垂直于圆O所在的平面，点C是圆周上不同于AB，的任意一点，MN，分别为VAVC，的中点，则下列结论正确的是（）A．MNAB∥B．MN与BC所成的角为45C．OC平面VACD．平面VAC平面VBC【答案】D【解析】对于A项，MN与AB异面，故A项错；对于B项，可证BC平面VAC，故BCMN，∴所成的角为90，因此B项错；对于C项，OC与AC不垂直，∴OC不可能垂直平面VAC，故C项错；对于D项，由于BCAC，VA平面ABC，BC平面ABC，∴VABC，∵=ACVAAI，∴BC平面VAC，BC平面VBC，∴平面VAC平面VBC，故选D．10．如图，在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面111ABC，底面三角形111ABC是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．1CC与1BE是异面直线B．AC平面11ABBAC．AE，11BC为异面直线且11AEBCD．11AC∥平面1ABE【答案】C【解析】对于A项，1CC与1BE在同一个侧面中，故不是异面直线，∴A错；对于B项，由题意知，上底面是一个正三角形，故AC平面11ABBA不可能，∴B错；对于C项，∵AE，11BC为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，∴C正确；对于D项，∵11AC所在的平面与平面1ABE相交，且11AC与交线有公共点，故11AC∥平面1ABE不正确，∴D项不正确；故选C．11．设EF，分别是正方体1111ABCDABCD的棱DC上两点，且21ABEF，，给出下列四个命题：①三棱锥11DBEF的体积为定值；②异面直线11DB与EF所成的角为45；③11DB平面1BEF；④直线11DB与平面1BEF所成的角为60．其中正确的命题为（）A．①②B．②③C．①②④D．①④【答案】A【解析】由题意得，如图所示，①中，三棱锥的体积的为11111111112223323DBEFBDEFDEFVVSBCEF△，∴体积为定值；②中，在正方体中，11EFCD∥，∴异面直线11DB与EF所成的角就是直线11DB与11CD所成的角，即11145BDC，∴这正确的；③中，由②可知，直线11DB与EF不垂直，∴11DB面1BEF不成立，∴是错误的；④中，根据斜线与平面所成的角，可知11DB与平面1BEF所成的角，即为11145BDC，∴不正确．12．如下图，梯形ABCD中，ADBC∥，145ADABADABBCD，，，将ABD△沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A，并且平面ABD平面BCD．给出下面四个命题：①ADBC；②三棱锥ABCD的体积为22；③CD平面ABD；④平面ABC平面ADC．其中正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【答案】B【解析】①∵90BADADAB，，∴4