2020年安徽省高考数学(理科)模拟试卷(7)

第1页（共21页）2020年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（7）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，3}2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|1+i|，则z的虚部为（）A．−√2𝑖B．−√2C．−√22𝑖D．−√223．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥≥1𝑥+𝑦−3≤0𝑥−𝑦−1≤0，则z=𝑦+1𝑥+1的取值范围为（）A．[12，32]B．[12，23]C．（﹣∞，12]∪[32，+∞）D．（﹣∞，12]∪[23，+∞）4．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝ealnx+b，e为自然对数的底数若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则𝑏𝑎的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（0，e]C．（﹣∞，1]D．（0，1]5．（5分）已知𝑠𝑖𝑛(3𝜋2−𝛼)+2𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼，则2sin2α﹣sinαcosα＝（）A．2110B．32C．√32D．26．（5分）给出以下4个命题：其中真命题的个数是（）①函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{𝛼|𝛼=𝑘𝜋2，𝑘∈𝑍}；③把函数𝑦=3𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)的图象向右平移𝜋6个单位得到函数y＝3sin2x的图象；④函数𝑦=𝑠𝑖𝑛(𝑥−𝜋2)在区间[0，π]上是减函数．A．1B．2C．3D．47．（5分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝xy，则x+y的最小值为（）A．6B．3√2C．3+2√2D．2√28．（5分）2019年5月31日晚，大连市某重点高中举行一年一度的毕业季灯光表演．学生会共安排6名高一学生到学校会议室遮挡4个窗户，要求两端两个窗户各安排1名学生，中间两个窗户各安排两名学生，不同的安排方案共有（）第2页（共21页）A．720B．360C．270D．1809．（5分）半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体．如图所示，图中网格是边长为1的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）A．83B．4C．163D．20310．（5分）已知O为坐标原点，点P（1，2）在抛物线C：y2＝4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPA+kPB＝0，则kAB•kOP的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣411．（5分）设函数f（x）＝x2﹣1，对任意𝑥∈[32，+∞)，𝑓(𝑥𝑚)−4𝑚2𝑓(𝑥)≤𝑓(𝑥−1)+4𝑓(𝑚)恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞，−12]∪[12，+∞)B．（﹣∞，−√22]∪[√22，+∞）C．（﹣∞，−√32]∪[√32，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）12．（5分）已知α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，且α∩β＝m，n⊂β，记直线m与直线n的夹角和二面角α﹣m﹣β均为θ1，直线n与平面α所成的角为θ2，则下列说法正确的是（）A．若0＜θ1＜𝜋6，则θ1＞2θ2B．若𝜋6＜θ1＜𝜋4，则tanθ1＞2tanθ2C．若𝜋4＜θ1＜𝜋3，则sinθ1＜sinθ2D．若𝜋3＜θ1＜𝜋2，则cosθ1＞34cosθ2第3页（共21页）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知向量𝑎→与𝑏→的夹角为120°，且𝑎→=(−1，3)，|𝑏→|=√10，则𝑎→⋅𝑏→=．14．（5分）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6，集合M＝{𝑎→|𝑎→=𝐴𝑖𝐴𝑗→（i，j＝1，2，3，4，5，6，i≠j）}，在M中任取两个元素𝑚→、𝑛→，则𝑚→⋅𝑛→=0的概率为．15．（5分）已知双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，F为右焦点，O为坐标原点，P是双曲线上一点，|PO|＝c，△POF的面积为12𝑎𝑏，则该双曲线的离心率为．16．（5分）在△ABC中，2acosA+bcosC+ccosB＝0，则角A的大小为．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①b2n＝2bn+1，②a2＝b1+b2，③b1，b2，b4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解．已知数列{an}中a1＝1，an+1＝3an．公差不等于0的等差数列{bn}满足_________，求数列{𝑏𝑛𝑎𝑛}的前n项和Sn．注：如果给出多种选择的解答，按符合题意的第一种选择计分18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD．底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝1，PA＝AD＝DC＝2，𝑃𝐷=2√2．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）求二面角P﹣BC﹣D的余弦值；（Ⅲ）若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F，MF与PC都不平行．19．（12分）某城市为了美化旅游景区，决定在夹角为45°的两条道路EB，EF之间挖一个半椭圆形状的人工湖，如图所示，AB＝40米，O为AB的中点，OD为椭圆的半长轴，椭圆的一个焦点P在OD上，在椭圆形区域内建造三角形游船区MNP，其中M，N在椭圆上，且MN平行于AB交OD于G，P在线段OG上．第4页（共21页）（1）若OE＝30米，为了不破坏道路EF，求椭圆半长轴长的最大值；（2）若椭的离心率为√22，当线段PG长为何值时，游船区城△MNP的面积最大？20．（12分）2020年春节期间爆发的新型冠状病毒（2019﹣nCoV），是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某定点医院为筛查某些人是否感染该病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n份血液样本，有以下两种检验方式：（a）逐份检验，则需要检验n次；（b）混合检验，将其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（0＜p＜1）．（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k（k∈N*且k≥2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为ξ2．（i）试运用概率统计的知识，若Eξ1＝Eξ2，试求p关于k的函数关系式p＝f（k）；（ii）若𝑝=1−𝑒−14，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更小，求k的最大值．参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094，In7≈1.945921．（12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥−𝑙𝑛1𝑥，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求f（x2）﹣2f（x1）的最大值．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）第5页（共21页）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点M（1，√32），C1的参数方程为{𝑥=12+𝑡𝑦=√3𝑡（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为3𝜌2=2+cos2θ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点，求1|𝑀𝐴|+1|𝑀𝐵|的值．五．解答题（共1小题）23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|a﹣x|+|x+b|+c．（1）当a＝b＝c＝2时，求不等式f（x）＜10的解集；（2）若函数f（x）的最小值为1，证明：a2+b2+c2≥13．第6页（共21页）2020年安徽省高考数学（理科）模拟试卷（7）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{x||x|≤2}，则A∩B＝（）A．{0，3}B．{0，1，2}C．{1，2}D．{0，1，2，3}【解答】解：A＝{0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：B．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|1+i|，则z的虚部为（）A．−√2𝑖B．−√2C．−√22𝑖D．−√22【解答】解：由（1+i）z＝|1+i|=√2，得z=√21+𝑖=√2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=√22−√22𝑖，∴z的虚部为−√22．故选：D．3．（5分）已知实数x，y满足约束条件{𝑥≥1𝑥+𝑦−3≤0𝑥−𝑦−1≤0，则z=𝑦+1𝑥+1的取值范围为（）A．[12，32]B．[12，23]C．（﹣∞，12]∪[32，+∞）D．（﹣∞，12]∪[23，+∞）【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界），∵z=𝑦+1𝑥+1可看作点（x，y）和P（﹣1，﹣1）之间的斜率，由可行域可知B（1，0），C（1，2），且KPB≤z≤KPC；第7页（共21页）则12≤z≤32，故选：A．4．（5分）已知a≠0，函数f（x）＝aex，g（x）＝ealnx+b，e为自然对数的底数若存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切，则𝑏𝑎的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（0，e]C．（﹣∞，1]D．（0，1]【解答】解：函数f（x）＝aex，g（x）＝aelnx+b，∴f′（x）＝aex，g′（x）=𝑎𝑒𝑥，设切点分别为（t，aet），（m，aelnm+b），∴与f（x），y＝g（x）相切的直线方程为y﹣aet＝aet（x﹣t），y﹣aelnm﹣b=𝑎𝑒𝑚（x﹣m）由题意存在一条直线与曲线y＝f（x）和y＝g（x）均相切可得aet=𝑎𝑒𝑚，且b＝（1﹣t）aet﹣aelnm+ae∵aet=𝑎𝑒𝑚，已知a≠0∴𝑏𝑎=（1﹣t）et﹣elnm+e＝（1﹣t）et﹣e（1﹣t）+e＝et+et﹣tet令h（t）＝（1﹣t）et﹣elnm+e＝（1﹣t）et﹣e（1﹣t）+e＝et+et﹣tet∴h′（t）＝﹣tet+e，当t＝1时，h′（t）＝﹣tet+e＝0，当t＜1时，h′（t）＝﹣tet+e＞0，h（t）是单调递增函数．当t＞1时，h′（t）＝﹣tet+e＜0，h（t）是单调递减函数．∴h（t）＝et+et﹣tet在当t＝1时取得最大值，最大值为h（1）＝et+et﹣tet＝e则𝑏𝑎的取值范围：𝑏𝑎≤e故选：A．5．（5分）已知𝑠𝑖𝑛(3𝜋2−𝛼)+2𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼，则2sin2α﹣sinαcosα＝（）A．2110B．32C．√32D．2【解答】解：∵𝑠𝑖𝑛(3𝜋2−𝛼)+2𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝛼)=𝑠𝑖𝑛𝛼，∴﹣cosα﹣2cosα＝sinα，可得sinα＝﹣3cosα，∴sin2α+cos2α＝9cos2α+cos2α＝10cos2α＝1，可得cos2α=110，第8页（共21页）∴2sin2α﹣sinαcosα＝18cos2α﹣（﹣3cosα）cosα＝21cos2α=2110．故选：A．6．（5分）给出以下4个命题：其中真命题的个数是（）①函数y＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{𝛼|𝛼=𝑘𝜋2，𝑘∈𝑍}；③把函数𝑦=3𝑠𝑖𝑛(2𝑥+