2020年河北省高考数学(理科)模拟试卷(8)

第1页（共18页）2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（8）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则𝑧1+𝑖=（）A．−32+32𝑖B．−32+12𝑖C．−12+32𝑖D．12+32𝑖2．（5分）已知集合𝐴={𝑥|3𝑥≥1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}3．（5分）设非零向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝3|𝑏→|，cos＜𝑎→，𝑏→＞=13，𝑎→•（𝑎→−𝑏→）＝16，则|𝑏→|＝（）A．√2B．√3C．2D．√54．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）A．B．C．D．5．（5分）已知双曲线C与双曲线𝑥22−𝑦26=1有公共的渐近线，且经过点𝑃(−2，√3)，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．2√33C．4D．2第2页（共18页）6．（5分）已知a，b＞0，a+b＝1，则12𝑎+1+2𝑏+1的最小值是（）A．95B．116C．75D．1+2√257．（5分）已知𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋6)=35，则𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋3)=（）A．35B．−35C．45D．−458．（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种9．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2＝1上，则函数f（x）＝acos2x+bsinxcosx−𝑎2−1的最小正周期和最小值分别为（）A．2𝜋，−32B．𝜋，−32C．𝜋，−52D．2𝜋，−5210．（5分）已知函数f（x）={2𝑥(𝑥≤0)𝑙𝑛𝑥(𝑥＞0)，且关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，1）11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC=√2，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3√6πB．13C．8√6πD．√6π12．（5分）已知函数f（x）＝x+alnx+b在x＝1处的切线的斜率为﹣1，若该函数存在两个不同的零点x1，x2，则1𝑥1+1𝑥2的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）第3页（共18页）13．（5分）已知实数x，y满足{𝑦≥4𝑥，𝑥+2𝑦+6≥0，𝑦≤4，则𝑧=𝑦+4𝑥−4的最大值为．14．（5分）某工厂共有50位工人组装某种零件．如图的散点图反映了工人们组装每个零件所用的工时（单位：分钟）与人数的分布情况．由散点图可得，这50位工人组装每个零件所用工时的中位数为．若将500个要组装的零件平均分给每个工人，让他们同时开始组装，则至少要过分钟后，所有工人都完成组装任务．15．（5分）设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边．已知𝐴=𝜋3，𝑏=1，且（sin2A+4sin2B）c＝8（sin2B+sin2C﹣sin2A），则a＝．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E的方程为𝑥24+𝑦25=1，F为E的上焦点，A为E的右顶点，P是E上位于第一象限内的动点，Q是E上位于第三象限内的动点，则四边形APFQ的面积最大值是．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知等差数列{an}的前n项和是Sn，若a1＝1，且a1，a2，a3+1成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记𝑏𝑛=3𝑛⋅𝑎𝑛的前n项和是Tn，求Tn．18．（12分）现代社会的竞争，是人才的竞争，各国、各地区、各单位都在广纳贤人，以更好更快的促进国家、地区、单位的发展．某单位进行人才选拔考核，该考核共有三轮，每轮都只设置一个项目问题，能正确解决项目问题者才能进入下一轮考核；不能正确解决者即被淘汰．三轮的项目问题都正确解决者即被录用．已知A选手能正确解决第一、二、三轮的项目问题的概率分别为45，23，12，且各项目问题能否正确解决互不影响．（1）求A选手被淘汰的概率；（2）设该选手在选拔中正确解决项目问题的个数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB⊥BC，AP＝AB＝BC=12AD，E为AD的中点，AC与BE相交于点O．第4页（共18页）（1）证明：PO⊥平面ABCD．（2）求直线BC与平面PBD所成角的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝lnx+2x﹣x2．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）判断并说明函数g（x）＝f（x）﹣cosx的零点个数．若函数g（x）所有零点均在区间[m，n]（m∈Z，n∈Z）内，求n﹣m的最小值21．（12分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线l与抛物线C交于P，Q两点．（1）若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点G．证明：点G在定直线上．（2）若p＝2，点M在曲线y=√1−𝑥2上，MP，MQ的中点均在抛物线C上，求△MPQ面积的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C以极坐标系中的点（0，0）为中心、点（1，0）为焦点、（√2，0）为一个顶点．直线l的参数方程是{𝑥=1−𝑡𝑦=2𝑡，（t为参数）．（Ⅰ）求椭圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），求线段MN的长度．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|2x+2m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t﹣1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．第5页（共18页）2020年河北省高考数学（理科）模拟试卷（8）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，2），则𝑧1+𝑖=（）A．−32+32𝑖B．−32+12𝑖C．−12+32𝑖D．12+32𝑖【解答】解：由题意，z＝﹣1+2i，则𝑧1+𝑖=−1+2𝑖1+𝑖=(−1+2𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=12+32𝑖．故选：D．2．（5分）已知集合𝐴={𝑥|3𝑥≥1}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}【解答】解：∵集合𝐴={𝑥|3𝑥≥1}={x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选：A．3．（5分）设非零向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|＝3|𝑏→|，cos＜𝑎→，𝑏→＞=13，𝑎→•（𝑎→−𝑏→）＝16，则|𝑏→|＝（）A．√2B．√3C．2D．√5【解答】解：∵|𝑎→|＝3|𝑏→|，cos＜𝑎→，𝑏→＞=13，∴𝑎→•（𝑎→−𝑏→）=𝑎→2−𝑎→⋅𝑏→=9|𝑏→|2−3|𝑏→|2×13=8|𝑏→|2=16，∴|𝑏→|=√2．故选：A．4．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点，几何体ABCDEC1的侧视图与俯视图如图所示，则该几何体的正视图为（）第6页（共18页）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体ABCC1DE的侧视图和俯视图，所以正视图为直角梯形，即点A的射影落在D点，点B的射影落在C点，线段BE的射影落在EC的位置．故选：A．5．（5分）已知双曲线C与双曲线𝑥22−𝑦26=1有公共的渐近线，且经过点𝑃(−2，√3)，则双曲线C的离心率为（）A．√2B．2√33C．4D．2【解答】解：根据题意，双曲线C与双曲线𝑥22−𝑦26=1有公共的渐近线，设双曲线C的方程为𝑥22−𝑦26=𝑡，（t≠0），又由双曲线C经过点P（﹣2，√3），则有2−12=t，则t=32，则双曲线的C的方程为𝑥22−𝑦26=32，即：𝑥23−𝑦29=1，其焦距c＝2√3，a=√3，所以双曲线的离心率为：e=𝑐𝑎=2．故选：D．6．（5分）已知a，b＞0，a+b＝1，则12𝑎+1+2𝑏+1的最小值是（）第7页（共18页）A．95B．116C．75D．1+2√25【解答】解：∵a，b＞0，a+b＝1，∴由权方和不等式可得12𝑎+1+2𝑏+1=12𝑎+12+2𝑏+1≥(√12+√2)2𝑎+12+𝑏+1=9252=95，（√12𝑎+12=√2𝑏+1，“＝”），故选：A．7．（5分）已知𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋6)=35，则𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋3)=（）A．35B．−35C．45D．−45【解答】解：已知𝑐𝑜𝑠(𝛼−𝜋6)=35，则𝑠𝑖𝑛(𝛼+𝜋3)=cos[𝜋2−（α+𝜋3）]＝cos（𝜋6−α）＝cos（α−𝜋6）=35，故选：A．8．（5分）将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种【解答】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有C31A21A22＝12种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C21C32A22＝12种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12+12＝24种；故选：B．9．（5分）已知点（a，b）在圆x2+y2＝1上，则函数f（x）＝acos2x+bsinxcosx−𝑎2−1的最小正周期和最小值分别为（）A．2𝜋，−32B．𝜋，−32C．𝜋，−52D．2𝜋，−52【解答】解：∵点（a，b）在圆x2+y2＝1上，∴a2+b2＝1．𝑓(𝑥)=𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑎2−1=𝑎⋅1+𝑐𝑜𝑠2𝑥2+𝑏2𝑠𝑖𝑛2𝑥−𝑎2−1=12(𝑏𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥)−1第8页（共18页）=√𝑏2+𝑎22(𝑏√𝑏2+𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑎√𝑏2+𝑎2𝑐𝑜𝑠2𝑥)−1=12𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜃)−1，（tanθ=𝑎𝑏）．∴函数的最小正周期为2𝜋2=𝜋，当sin（2x+θ）＝﹣1时，函数有最小值−32．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）={2𝑥(𝑥≤0)𝑙𝑛𝑥(𝑥＞0)，且关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围（）A．[0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：因为条件等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x+a只有一个交点．作出图象如图：由图可知，a＞1，故选：B．11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，AP⊥平面PBC，PA＝2PB＝2PC＝2，BC=√2，则三棱锥P﹣ABC的外接球体积为（）A．3√6πB．13C．8√6πD．√6π第9页（共18页）【解答】解：设三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为R．∵PB＝PC＝1，BC=√2，∴PB2+PC2＝BC2，∴PB⊥PC．又AP⊥平面PBC，∴AP⊥PB，AP⊥PC．∴（2R）2＝12+12+22＝6，解得：R=√62．则三棱锥P﹣ABC的外接球体积=43π×(√62)3=√6π．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝x+alnx+b在x＝1处的切线的斜率为﹣1，若该函数存在两个不同的零点x1，x2，则1𝑥1+1𝑥2的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1]【解答】解：f（x）＝x