2019届百师联盟全国高三模拟考(二)全国Ⅱ卷数学(理)试题(解析版)

第1页共20页2019届百师联盟全国高三模拟考（二）全国Ⅱ卷数学（理）试题一、单选题1．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}ABMxxabbBxB,则集合M的真子集的个数是A．1个B．3个C．4个D．7个【答案】B【解析】由题意，结合集合,AB，求得集合M，得到集合M中元素的个数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合{2,1,1},{4,6,8}AB，,xA则{|,,,}4,6MxxabxAbBxB，所以集合M的真子集的个数为2213个，故选B．【点睛】本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合M，再由真子集个数的公式21n作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2．已知复数z，满足(34)5zii，则z（）A．1B．5C．3D．5【答案】A【解析】首先根据复数代数形式的除法运算求出z，求出z的模即可．【详解】解：55(34)4334255iiiizi，2243155z，故选：A【点睛】本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题．第2页共20页3．设命题:p函数()xxfxee在R上递增，命题:q在ABC中，coscosABAB，下列为真命题的是（）A．pqB．pqC．pqD．pq【答案】C【解析】命题p：函数()xxfxee在(,0)上单调递减，即可判断出真假．命题q：在ABC中，利用余弦函数单调性判断出真假．【详解】解：命题p：函数()xxfxee，所以()xxfxee，当0x时，()0fx，即函数在(,0)上单调递减，因此是假命题．命题q：在ABC中，,(0,),cosAByx在(0,)上单调递减，所以coscosABAB，是真命题．则下列命题为真命题的是()pq．故选：C．【点睛】本题考查了函数的单调性、正弦定理、三角形边角大小关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知等比数列na的前n项和为nS，且满足122nnS，则的值是()A．4B．2C．2D．4【答案】C【解析】利用nS先求出na，然后计算出结果.【详解】根据题意，当1n时，11224Sa,142a,故当2n时，112nnnnaSS,数列na是等比数列,则11a，故412,解得2,故选C.【点睛】第3页共20页本题主要考查了等比数列前n项和nS的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.5．已知131412,log,sin(1)5abc，则（）A．bcaB．abcC．cbaD．bac【答案】D【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：1030221，14441loglog5log415，(0,1),1,sin(1)0abc，即bac，故选：D【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB中点，F为CD的三等分点（靠近D）若AFxACyDE，则yx的值为（）A．12B．23C．13D．1【答案】D【解析】使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出．【详解】解：13AFADDFABAD，又11()()()()22AFxACyDExABADyABADxyABxyAD1231yxxy解得5949xy，所以1yx第4页共20页故选：D【点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．7．若变量,xy，满足22390xyxyx，则22xy的最大值为（）A．3B．2C．8113D．10【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可．【详解】解：画出满足条件22390xyxyx的平面区域，如图示：如图点坐标分别为0,3,3,1,0,2ABC，目标函数22xy的几何意义为，可行域内点,xy与坐标原点0,0的距离的平方，由图可知3,1B到原点的距离最大，故x2222ma0311xy.故选：D【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．第5页共20页8．如图在一个60的二面角的棱有两个点,AB，线段,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB，且2,4ABACBD，则CD的长为（）A．4B．25C．2D．23【答案】A【解析】由CDCAABBD，两边平方后展开整理，即可求得2CD，则CD的长可求．【详解】解：CDCAABBD，2222222CDCAABBDCAABCABDABBD，CAAB，BDAB，0CAAB，0BDAB，1||||cos1202442CABDCABD．244162416CD，||4CD，故选：A．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数()lnln(3)fxxx，则（）A．函数()fx在0,3上单调递增B．函数()fx在0,3上单调递减C．函数()fx图像关于32x对称D．函数()fx图像关于3,02对称【答案】C【解析】依题意可得(3)()fxfx，即函数图像关于32x对称，再求出函数的导函数，即可判断函数的单调性；第6页共20页【详解】解：由(3)ln(3)ln[3(3)]ln(3)ln()fxxxxxfx，(3)()fxfx，所以函数图像关于32x对称，又1123()3(3)xfxxxxx，()fx在0,3上不单调.故正确的只有C，故选：C【点睛】本题考查函数的对称性的判定，利用导数判断函数的单调性，属于基础题.10．若函数()3cos4sinfxxx在x时取得最小值，则cos（）A．35B．45C．45D．35-【答案】D【解析】利用辅助角公式化简()fx的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()fx在x函数取得最小值时cos的值．【详解】解：34()3cos4sin5cossin5sin()55fxxxxxx，其中，3sin5，4cos5，故当22k()kZ，即2()2kkZ时，函数取最小值5f，所以3coscos(2)cos()sin225k，故选：D【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．11．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且520,02abab，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）第7页共20页A．174B．214C．4D．5【答案】B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值．【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCDABCD的四个顶点，即为三棱锥11ACBD，且长方体1111ABCDABCD的长、宽、高分别为2,,ab，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCDABCD的外接球，且球半径为222222422ababR，∴三棱锥外接球表面积为222222421445124ababa，∴当且仅当1a，12b时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214．故选B．【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用．（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外第8页共20页接球的问题．12．已知平行于x轴的直线分别交曲线2ln21,21(0)yxyxy于,AB两点，则4AB的最小值为（）A．5ln2B．5ln2C．3ln2D．3ln2【答案】A【解析】设直线为1122(0),(,)(,)yaaAxyBxy，用a表示出1x，2x，求出4||AB，令2()2lnfaaa，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出4||AB的最小值．【详解】解：设直线为1122(0),(,)(,)yaaAxyBxy，则1ln21ax，11(ln1)2xa，而2x满足2221ax，2212ax那么22211144()4ln122ln22aABxxaaa设2()2lnfaaa，则221()afaa，函数()fa在20,2上单调递减，在2,2上单调递增，所以minmin242()25ln22ABfaf故选：A．【点睛】本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题．二、填空题13．5(13)(1)xx展开式中3x项的系数是__________【答案】-20【解析】根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．【详解】第9页共20页解：555(13)(1)(1(13))xxxxx展开式中3x项的系数：二项式5(1)x由通项公式515()rrrTCx当3r时，3x项的系数是3510C，当2r=时，2x项的系数是2510C，故3x的系数为3255320CC；故答案为：20【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意分情况考虑，属于基础题．14．如图梯形ABCD为直角梯形，,ABADCDAD，图中阴影部分为曲线2yx=与直线2xx围成的平面图形，向直角梯形ABCD内投入一质点，质点落入阴影部分的概率是_____________【答案】35【解析】联立直线与抛物线方程求出交点坐标，再利用定积分求出阴影部分的面积，利用梯形的面积公式求出ABCDS，最后根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：联立22yxyx解得24xy或11xy，即(2,4)B，(1,1)C，(1,0)D，(2,0)A，222321111922232Sxxdxxxx阴影，11514322ABCDS9321552ABCDSPS阴影故答案为：35【点睛】本题考查几何概型的概率公式的应用以及利用微积分基本定理求曲边形的面积，属于中档题.第10页共20页15．已知双曲线22221(0)xyabab的左右焦点分别关于两渐近线对称点重合，则双曲线的离心率为_____【答案】2【解析】双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即ba，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，一条渐近线的斜率为1，即ba，2ca，2cea，故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，确定一条渐近线的斜率为1是关键，属于基础题．16．电影《厉害了，我的国》